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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{defi}{Définition}

\author{Kevin \textsc{Quirin} et Pierre \textsc{Vigué}}
\title{Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques.}
\date{2011-2012}

\begin{document}
\maketitle

Dans la suite, on prend $\mathbb{K}= \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

\section{Définitions, séries à termes positifs}
\subsection{Définitions}

\begin{defi}
    Soit $(u_n)_{n} \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$. La série de terme général $u_n$ est la suite $(S_n)_n$ définie par 
    $$\forall n\in\mathbb{N}, S_n = \sum_{k=0}^n u_k.$$
    On note cette série $\sum u_n$.

    $S_n$ est la somme partielle d'indice $n$.

    On dit que $\sum u_n$ converge si la suite $(S_n)_n$ {\em converge} (sinon, on dit qu'elle {\em diverge}), et dans le cas de la convergence, $\lim S_n$ est la somme de la série, notée $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty u_n}$.

    Si $\sum u_n$ converge, on définit pour tout $n$ le {\em reste d'indice $n$} par 
    $$R_n = \sum_{n=0}^\infty u_n - S_n = \sum_{k=n+1}^\infty u_k$$
\end{defi}

\textbf{Exemple}
    Soit $q\in\mathbb{K}$. La série $\sum q^n$ est appelée série géométrique, qui converge {\em si et seulement si} $|q|<1$.

    Dans ce cas, 
    $$\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}.$$


\begin{defi}
    Une série $\sum u_n$ est dite {\em de Cauchy} si $(S_n)_n$ est une suite de Cauchy.
\end{defi}

\begin{prop}
    La série $\sum u_n$ converge {\em si et seulement si}
    $$\forall \varepsilon >0, \ \exists N\in\mathbb{N},~\forall n \geqslant N,~\forall p\in \mathbb{N},~\left| \sum_{k=n}^{n+p} u_k \right| <\varepsilon.$$
\end{prop}

\begin{prop}
    Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim u_n = 0$.
\end{prop}

\begin{defi}
    Une série $\sum u_n$ est dite absolument convergente si $\sum |u_n|$ converge.
\end{defi}

\begin{thm}
    Une série absolument convergente est convergente.
\end{thm}

\subsection{Comparaison}\label{ssec:comp}
Dans la suite, $(u_n)_n,(v_n)_n\in(\mathbb{R}_+)^\mathbb{N}$.

\begin{thm}
    $\sum u_n$ converge {\em si et seulement si} $(S_n)$ est majorée.
\end{thm}

\begin{thm}
    On a les résultats suivants~:
    \begin{itemize}
        \item Si $\forall n\in \mathbb{N}, u_n \leqslant v_n$, alors 
        $$\left(\left(\sum v_n \text{ converge }\right) \Rightarrow \left(\sum u_n \text{ converge}\right)\right)$$
        \item Si $u_n = \mathcal O (v_n)$, alors  
        $$\left(\left(\sum v_n \text{ converge }) \Rightarrow (\sum u_n \text{ converge}\right)\right)$$
    \end{itemize}
\end{thm}

\begin{thm}
    On suppose que $u_n \sim v_n$. Alors~:
    \begin{itemize}
        \item Si $\sum u_n$ converge, alors $\sum v_n$ aussi et les restes des séries sont équivalents.
        \item Si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ aussi et les sommes partielles sont équivalentes.
    \end{itemize}
\end{thm}

\textbf{Application} : formule de Stirling
   $$n! \sim \sqrt{2\pi} n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n}.$$ 


\textbf{Exemple} : développement asymptotique de la suite définie par $u_{n+1} = \sin u_n$ et $u_0 \in (0,\frac{\pi}{2})$.

\subsection{Critères usuels}

Dans ce paragraphe, on suppose $u_n>0$ pour tout $n$.

\begin{prop}[Règle de d'Alembert]
    On suppose $\displaystyle{\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ existe et vaut $\lambda \in [0,\infty].$
    \begin{itemize}
        \item si $\lambda <1$, alors $\sum u_n$ converge.
        \item si $\lambda >1$, alors $\sum u_n$ diverge.
        \item si $\lambda = 1^+$, alors $\sum u_n$ diverge.
    \end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}[Règle de Cauchy]
    On suppose $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{u_n}}$ existe et vaut $\lambda \in [0,\infty]$.
    \begin{itemize}
        \item si $\lambda <1$, alors $\sum u_n$ converge.
        \item si $\lambda >1$, alors $\sum u_n$ diverge.
        \item si $\lambda = 1^+$, alors $\sum u_n$ diverge.
    \end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}[Règle de Raab-Duhamel]
    On suppose que 
    $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac1{1 + \frac a n + \mathcal O \left(\frac1{n^\alpha}\right)}.$$
    Si $a>1$ et $\alpha >1$, alors $\sum u_n$ converge.
\end{prop}

\subsection{Comparaison à des séries usuelles}

\begin{prop}[Séries de Riemann]
    Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. Alors $\sum n^{-\alpha}$ converge {\em si et seulement si} $\alpha >1$.
\end{prop}

\begin{prop}[Séries de Bertrand]
    Soient $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$. Alors $\displaystyle{\sum \frac1{n^\alpha \log^\beta n}}$ converge {\em si et seulement si} $(\alpha >1)$ ou $(\alpha=1$ et $\beta>1)$.
\end{prop}

La combinaison des résultats du \ref{ssec:comp} et sur les séries géométriques, de Riemann et de Bertrand permet de traiter de nombreux exemples.

\textbf{Exemples} : \begin{itemize}
        \item $\displaystyle{\sum \frac{\sin^2 n}{n^2}}$ converge.
        \item La série harmonique $\displaystyle{\sum \frac1n}$ diverge.
\end{itemize}

\section{Cas général}

On revient maintenant au cas $(u_n)_n \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$.

\subsection{La transformation d'Abel}
Principe de la méthode ~:

Soit $u_n = \alpha_n v_n$. On note $S_n = \sum_{k=0}^n v_k$. Alors
$$\sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=0}^{n-1} (\alpha_k - \alpha_{k+1}) S_k + \alpha_n S_n.$$

\begin{thm}[Règle d'Abel]
    Avec les notations précédentes~:

    si $(\alpha_n)$ est positive, décroissante, tend vers 0, et $(S_n)$ bornée, alors $\sum u_n$ converge.
\end{thm}

\textbf{Application} : Critère des séries alternées

    Soit $(a_n) \in (\mathbb{R}_+)^\mathbb{N}$ décroissante et tendant vers 0. Alors $\sum (-1)^n a_n$ converge, et 
    $$\left| \sum_{k=n+1}^\infty (-1)^k a_k \right| \leqslant a_{n+1}.$$

\textbf{Exemple} :
    $\displaystyle{\sum \frac{e^{in\theta}}{n}}$ converge pour tout $\theta \in \mathbb{R}\backslash 2\pi \mathbb{Z}$.

\subsection{Ordre des termes}

\begin{defi}
    On dit que $\sum u_n$ est {\em commutativement convergente} et de somme $S$ si pour toute bijection $\varphi~:~\mathbb{N} \to \mathbb{N}$, $\sum u_{\varphi(n)}$ converge et a pour somme $S$.
\end{defi}

\begin{thm}
    Sont équivalentes~:
    \begin{itemize}
        \item $\sum u_n$ converge absolument
        \item $\sum u_n$ converge commutativement.
    \end{itemize}
\end{thm}

\begin{thm}[de Riemann]
    Soit $\sum u_n$ une série réelle semi-convergente, et soit $\alpha \in \mathbb{R}$.

    Alors il existe une bijection $\varphi~:~\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ telle que $\sum u_{\varphi(n)}$ converge, et 
    $$\sum_{n=0}^\infty u_{\varphi(n)} = \alpha.$$
\end{thm}

\begin{thm}[Sommation par paquets]
Soit $(I_{\alpha})_{\alpha \in A}$ une partition de $\mathbb{N}$ et $\sum u_n$ une série commutativement convergente. Alors $ \forall \alpha \in A$, $ \sum_{n \in I_{\alpha}} u_n $ est commutativement convergente, vers $S_{\alpha}$, et $\sum_{\alpha \in A} S_{\alpha}$ converge commutativement avec 

\[ \sum_{n=0}^{\infty} u_n = \sum_{\alpha \in A} \sum_{n \in I_{\alpha}} u_n \]
\end{thm}

\begin{thm}
Si une série converge, alors toute série obtenue par regroupement de termes consécutifs converge aussi vers la même limite. Pour une série à termes positifs, toute série obtenue par regroupement de termes consécutifs est de même nature.
\end{thm}

\textbf{Exemple} : on note $p_n$ le $n^\text{ème}$ entier naturel non nul dont l'écriture décimale ne comporte pas de 9.

    Alors $\sum \frac1{p_n}$ converge.


\subsection{Produit de convolution}

\begin{thm}[de Mertens]
    Soit $\sum u_n$ une série absolument convergente de somme $U$, et soit $\sum v_n$ une série convergente de somme $V$.

    Alors la série $\sum w_n$, où $w_n = \sum_{i=0}^n u_i v_{n-i}$, converge, et a pour somme $UV$.
\end{thm}

\textbf{Exemple} : contre-exemple de Cauchy
    Avec $u_n = v_n = \displaystyle{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}}$, la série produit diverge.

\subsection{Séries doubles}

\begin{thm}
    Soit $(u_{p,q})_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}$ une suite à double entrée. Sont équivalentes~:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Pour tout $q\in\mathbb{N}$, $\sum_p u_{p,q}$ converge abolument et $\displaystyle{\sum_q \left( \sum_{p=0}^\infty |u_{p,q}| \right)}$ converge
        \item Pour tout $p\in\mathbb{N}$, $\sum_q u_{p,q}$ converge abolument et $\displaystyle{\sum_p \left( \sum_{q=0}^\infty |u_{p,q}| \right)}$ converge
    \end{enumerate}
    Dans ce cas, 
    $$\sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^\infty u_{p,q} = \sum_{q=0}^\infty \sum_{p=0}^\infty u_{p,q}.$$
\end{thm}

\textbf{Exemple} :
    $$\sum_{k=2}^\infty \left( \zeta(k)-1\right) = 1,$$ où $\zeta$ est la fonction de Riemann $$\zeta(k) = \sum_{n=1}^\infty n^{-k}.$$

\section{Utilisation de fonctions}

\subsection{Utilisation d'une intégrale}

\begin{thm}
    Soit $f~:~\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ décroissante, continue par morceaux. Alors $\sigma f(n)$ et $\int_0^\infty f(t) \mathrm dt$ ont même nature.
\end{thm}

\textbf{Exemple} :
    On a~:
    $$E\left( \sum_{n=1}^{10^9} \right) = 2997.$$

\begin{thm}
    Soient $x_0 \geqslant 0$ et $f~:~[x_0,\infty) \to \mathbb{C}$ de classe $\mathcal C^1$. Si $\displaystyle{\int_{x_0}^\infty |f'(t)| \mathrm dt}$ converge, alors $\sum f(n)$ et $\displaystyle{\int_{x_0}^\infty f(t) \mathrm dt}$ sont de même nature.
\end{thm}

\textbf{Application} :
    On peut prolonger $\zeta~:~\{s\in\mathbb{C}~|~\Re(s)\} \to \mathbb{C}$ à $\{s\in\mathbb{C}~|~\Re(s) >0 \} \backslash \{1\}$.

\subsection{Séries entières}

\begin{defi}
    On appelle {\em série entière} toute série de fonctions de la forme $\sum_n a_n z^n$, où $z$ est une variable complexe, et $(a_n)_n \in \mathbb{C}^\mathbb{N}$.

    On appelle {\em rayon de convergence} le nombre
    $$R = \sup \{r\geqslant 0 ~|~ \exists M>0,~\forall n\in \mathbb{N},~|a_nr^n| < M \}.$$
\end{defi}

\begin{thm}[d'Abel angulaire]
    Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R\geqslant 1$, telle que $\sum a_n$ converge. On note $f$ la somme de cette série entière sur le disque unité. Pour $\theta_0\in[0,\frac{\pi}{2})$, on pose 
    $$\Delta_{\theta_0} = \{z\in\mathbb{C},~|z|<1~|~\exists \rho>0,~\exists \varphi\in[-\theta_0,\theta_0],~z=1-\rho e^{i\varphi}.$$

    Alors $$\lim_{z\to1,z\in\Delta_{\theta_0}} f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n.$$
\end{thm}

\textbf{Exemple} :
    On a 
    $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim_{x\to1,x<1} \arctan x = \frac{\pi}{4}.$$

\begin{thm}[taubérien faible]
    Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R\geqslant 1$, et soit $f$ la somme de cette série sur le disque unité. On suppose~: $$\exists S\in\mathbb{C},~\lim_{x\to1,x<1} f(x) = S \text{ et } a_n = o \left( \frac1n \right).$$

    Alors $\sum a_n$ converge, vers $S$.
\end{thm}

\subsection{Séries de Fourier}

\begin{defi}
    Soit $f~:~\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction $2\pi$-périodique, continue par morceaux. On appelle {\em coefficients de Fourier} de $f$ les nombres~:
    $$\forall n\in\mathbb{Z},~c_n(f) = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int} \mathrm  dt.$$

    On appelle {\em série de Fourier} associée à $f$ la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n(f) e^{inx}$.
\end{defi}

\begin{thm}[de Dirichlet]
    Si $f$ est $2\pi$-périodique et $\mathcal C^1$ par morceaux, alors pour tout $\displaystyle{x\in\mathbb{R}, \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(f) e^{inx}}$ converge vers $\displaystyle{\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}}$.
\end{thm}

\textbf{Application} : Formule d'Euler

    On définit les nombres de Bernoulli $b_n$ par 
    $$\frac{z}{e^z-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{n!} z^n.$$

    On a alors~:
    $$\sum_{n\geqslant 1} \frac{1}{n^{2k}} = (-1)^{k-1} \frac{(2\pi)^{2k}}{2(2n)!} b_{2k}.$$

\begin{thm}[Formule de Parseval]
    Soit $f~:~\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ une fonction $2\pi$-périodique et continue par morceaux. Alors $\displaystyle{\sum_{n\in\mathbb{Z}} |c_n(f)|^2}$ converge, et 
    $$\sum_{n\in\mathbb{Z}} |c_n(f)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(t)|^2 \mathrm dt.$$
\end{thm}

\textbf{Exemple} : on peut retrouver avec la formule de Parseval~:
    $$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}.$$


\begin{thm}[Formule sommatoire de Poisson]
    Soit $f\in\mathcal S(\mathbb{R})$. On pose pour tout $n\in\mathbb{Z}$, $\displaystyle{\hat{f}(n) = \int_\mathbb{R} f(t) e^{-2i\pi nt}}\mathrm dt$. Alors
    $$\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{f}(n).$$
\end{thm}

\textbf{Application} : 
    Pour tout $s>0$~:
    $$\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-\pi n^2 s} = s^{-1/2} \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-\pi k^2/s}.$$
\end{document}
