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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
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\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}

\title{Théorème d'Ascoli}
\date{2012-2013}
\maketitle

Soit $(X,d)$ un espace métrique compact et $(X',d')$ un espace métrique.

Soit $E$ une partie de $\mathcal C^0(X,X')$.

\begin{de}
~~
\begin{itemize}
	\item $E$ est équicontinue si :
	\[\forall x\in X,\forall\varepsilon>0,\exists\eta>0,\forall y\in X,\forall f\in E, d(x,y)<\eta\Rightarrow d'(f(x),f(y))<\varepsilon\]
	\item $E$ est uniformément équicontinue si :
	\[\forall\varepsilon>0,\exists\eta>0,\forall x,y\in X,\forall f\in E, d(x,y)<\eta\Rightarrow d'(f(x),f(y))<\varepsilon\]
	\item $E$ est ponctuellement truc si :
	\[\forall x\in X, \{f(x),f\in E\}\text{ est truc}\]
\end{itemize}
\end{de}

On rappelle que dans notre cas où $X$ est compact, équicontinue est équivalent à uniformément équicontinue.

\begin{proof}
Il est évident que uniformément équicontinue implique équicontinue.

Supposons $E$ équicontinue.

Soit $\varepsilon>0$. Alors pour tout $x\in X$, il existe $\eta_x>0$ tel que :
\[\forall y\in X,\forall f\in E, d(x,y)<\eta_x\Rightarrow d'(f(x),f(y))<\varepsilon\]

$\displaystyle\bigcup_{x\in X}B\left(x,\frac{\eta_x}2\right)$ est un recouvrement d'ouverts de $X$, et $X$ est compact, donc il existe $x_1,\dotsc,x_n\in X$ tels que $\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^nB\left(x_i,\frac{\eta_{x_i}}2\right)$.

On pose $\displaystyle\eta:=\min_{1\le i\le n}\frac{\eta_{x_i}}2$.

Soit $f\in E$ et $x,y\in X$ tels que $d(x,y)<\eta$.

Soit $i\in\{1,\dotsc,n\}$ tel que $\displaystyle x\in B\left(x_i,\frac{\eta_{x_i}}2\right)$.

Alors $d(x,x_i)<\eta_{x_i}$ donc $d'(f(x),f(x_i))<\varepsilon$ et :
\[d(y,x_i)\le d(y,x)+d(x,x_i)<\eta+\frac{\eta_{x_i}}2\le\eta_{x_i}\]
donc $d'(f(y),f(x_i))<\varepsilon$.

Finalement :
\[d'(f(x),f(y))\le d'(f(x),f(x_i))+d'(f(x_i),f(y))<2\varepsilon\]

Donc $E$ est uniformément équicontinue.
\end{proof}
\begin{thm}[Ascoli]
$E$ est relativement compact pour la topologie de la convergence uniforme si et seulement si $E$ est équicontinue et ponctuellement relativement compacte.
\end{thm}

\begin{proof}
~~
\begin{itemize}
	\item[$\Rightarrow$ :]
	\begin{itemize}
	\item Soit $x\in X$, on note $E(x):=\{f(x), f\in E\}$. Montrons que $E(x)$ est relativement compact.
	
	L'application :
	\begin{align*}
	\Phi_x:\mathcal C^0(X,X')&\longrightarrow X'\\
	f&\longmapsto f(x)
	\end{align*}
	est 1-lipschitzienne donc continue, donc $\overline E(x)=\Phi_x(\overline E)$ est compact (car $E$ est relativement compact).
	
	Or $\overline{E(x)}\subset\overline E(x)$ et $\overline{E(x)}$ est fermé donc est compact.
	\item $E$ est relativement compact donc $E$ est précompact.
	
	Soit $x\in X$, $\varepsilon>0$ et $f_1,\dotsc,f_N\in E$ tels que $\displaystyle E\subset\bigcup_{i=1}^NB(f_i,\varepsilon)$.
	
	Pour tout $i$, $f_i$ est continue en $x$ donc :
	\[\exists\eta_i>0,\forall y\in X,d(x,y)<\eta_i\Rightarrow d'(f_i(x),f_i(y))<\varepsilon\]
	On pose $\eta:=\min\eta_i$, alors :
	\[\forall i,\forall y\in X,d(x,y)<\eta\Rightarrow d'(f_i(x),f_i(y))<\varepsilon\]
	
	Soit désormais $f\in E$, alors il existe $i$ tel que $d_\infty(f,f_i)<\varepsilon$.
	
	Soit $y\in X$ tel que $d(x,y)<\eta$, alors :
	\[d'(f(x),f(y))\le d'(f(x),f_i(x))+d'(f_i(x),f_i(y))+d'(f_i(y),f(y))<3\varepsilon\]
	
	Donc $E$ est équicontinue.
\end{itemize}

\bigskip
\item[$\Leftarrow$ :]Soit $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite d'éléments de $E$. Le but est de montrer qu'il existe une sous-suite de $(f_n)_n$ qui converge dans $(\mathcal C^0(X,X'),d_\infty)$.

$X$ est compact donc $X$ est séparable. Soit $D=\{x_k,k\in\mathbb N\}$ dense dans $X$.

$E$ est ponctuellement relativement compact donc pour tout $k\in\mathbb N$, il existe $K_k\subset X'$ compact tel que $(f_n(x_k))_{n\in\mathbb N}\subset K_k$.

$({f_n}_{|D})_{n\in\mathbb N}$ est une suite de $\displaystyle\prod_{k\in\mathbb N}K_k$ compact par le théorème de Tykhonov, donc il existe une sous-suite $(f_{n_l})_{l\in\mathbb N}$ qui converge ponctuellement sur $D$.

Montrons que $(f_{n_l}(x))_{l\in\mathbb N}$ est de Cauchy pour tout $x\in X$.

Soit $\varepsilon>0$, alors par équicontinuité de $E$ il existe $\eta>0$ tel que :
\[\forall x,y\in X,\forall l\in\mathbb N,d(x,y)<\eta\Rightarrow d'(f_{n_l}(x),f_{n_l}(y))<\varepsilon\]
Soit $x\in X$, $D$ est dense donc il existe $k$ tel que $d(x,x_k)<\eta$. $(f_{n_l}(x_k))_{l\in\mathbb N}$ converge donc est de Cauchy :
\[\exists L_k,\forall l,l'\ge L_k,d'(f_{n_l}(x_k),f_{n_{l'}}(x_k))<\varepsilon\]
D'où, pour tout $l,l'\ge L_k$,
\begin{align*}
d'(f_{n_l}(x),f_{n_{l'}}(x))&\le d'(f_{n_l}(x),f_{n_l}(x_k))+d'(f_{n_l}(x_k),f_{n_{l'}}(x_k))+d'(f_{n_{l'}}(x_k),f_{n_{l'}}(x))\\
&<3\varepsilon
\end{align*}
$(f_{n_l}(x))_{l\in\mathbb N}$ est de Cauchy et $\overline{E(x)}$ est compact donc complet, donc $(f_{n_l}(x))_{l\in\mathbb N}$ converge dans $(X',d')$ vers $f(x)$ pour tout $x\in X$.

Montrons que la convergence est uniforme.

En conservant les notations précédentes, il existe $N\in\mathbb N$ tel que $\displaystyle X\subset\bigcup_{k=0}^NB(x_k,\eta)$.

On pose $\displaystyle L:=\max_{0\le k\le N}L_k$, on a alors :
\[\forall l,l'\ge L,\forall x\in X, d'(f_{n_l}(x),f_{n_{l'}}(x))<3\varepsilon\]

En faisant tendre $l'\to\infty$, on obtient :
\[\forall l\ge L,d_\infty(f_{n_l},f)<3\varepsilon\]
\end{itemize}
\end{proof}
\end{document}