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\begin{document}
\title{Lemme de Baire}
\date{2013-2014}
\maketitle

\qquad Référence : Xavier Gourdon, \emph{Analyse}, Ellipses, 1994, p.392.

\begin{lemme}[Baire]
Soit $(E,d)$ un espace métrique complet.

Alors toute intersection dénombrable d'ouverts denses dans $E$ est dense dans $E$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $(U_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite d'ouverts denses dans $E$.

Soit $V$ un ouvert non vide de $E$, montrons que $V\cap(\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n)\neq\varnothing$.

$U_0$ étant un ouvert dense, $U_0\cap V$ est un ouvert non vide donc il existe $r_0\le 1$ et $x_0\in E$ tels que $\overline B(x_0,r_0)\subset U_0\cap V$.

Puis $U_1$ est un ouvert dense donc $U_1\cap B(x_0,r_0)$ est un ouvert non vide, donc il existe $r_1\le\frac 12$ et $x_1\in E$ tels que $\overline B(x_1,r_1)\subset U_1\cap B(x_0,r_0)$.

On construit ainsi par récurrence une suite $(B(x_n,r_n))_{n\in\mathbb N}$ telle que :
\[r_n\le\frac 1n\text{ et }\overline B(x_{n+1},r_{n+1})\subset U_{n+1}\cap B(x_n,r_n)\]

Soit $n,m\ge k$, alors $x_n,x_m\in B(x_k,r_k)$ donc $d(x_n,x_m)\le\frac 2k$. La suite $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ est donc de Cauchy, donc converge vers un élément $x$ car $E$ est complet.

De plus, pour tout $n,m\ge n,x_m\in B(x_n,r_n)$ donc $d(x_m,x_n)\le r_n$. En faisant $m\to\+\infty$, on obtient $d(x,x_n)\le r_n$, \emph{i.e.} $x\in\overline B(x_n,r_n)\subset B(x_{n-1},r_{n-1})$.

D'où :
\[x\in\bigcap_{n\in\mathbb N}B(x_n,r_n)\subset\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n\]
\end{proof}
\end{document}