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\newtheorem*{Thm}{Ce qu'on va démontrer}
\newtheorem*{Lem}{Lemme}
\DeclareMathOperator*{\Var}{Var}


\title{Approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment par les polynômes de Bernstein.}
\date{\today}
\author{Nil}

\begin{document}

\maketitle
\abstract{On démontre que la suite des polynômes de Bersntein associée à une fonction $f$ continue converge uniformément vers $f$ sur [0,1], ce qui démontre le théorème de Weierstrass. Puis, on montre que la vitesse de cette convergence est un $O(\omega(\frac{1}{\sqrt{n}}))$ }, où $\omega$ désigne le module de continuité uniforme de $f$. Finalement, on exhibe une fonction continue pour laquelle la vitesse de convergence est exactement en $\omega(\frac{1}{\sqrt{n}})$, ce qui démontre l'optimalité de notre résultat sans hypothèses supplémentaires sur $f$.
\begin{Thm}~ Soit $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{C}$ continue. On introduit les polynômes de Bernstein associés à $f$ en posant, $\forall \in \mathbb{N}, \forall x \in [0,1]$
\[ B_{f,n}(x)=\sum_{i=1}^n {n \choose k}x^k(1-x)^{n-k}f(\frac{k}{n}), \] et le module de continuité uniforme associé à $f$ en posant $\forall h > 0$ 
\[\omega(h)=\sup \{ |f(x)-f(y)|, |x-y| \leq h \} .\]
\begin{enumerate}
\item La suite $(B_{f,n})_n$ converge uniformément vers $f$ sur [0,1].
\item Plus précisemment, il existe $C >0$ indépendante de $f$ telle que  \[ \|f-B_{f,n}\|_{\infty} \leq C\omega(\frac{1}{\sqrt{n}}).\]
\item De plus, il existe $f_0$ continue sur [0,1] et $C' > 0$ tels que \[ \|f_0-B_{f_0,n}\|_{\infty} \geq C'\omega(\frac{1}{\sqrt{n}}).\]
\end{enumerate}
\end{Thm}
\begin{proof}  ~

\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, toutes de même paramètre $x \in [0,1]$. Notons $S_n=X_1+ \cdots + X_n$, variable aléatoire de loi Binômiale de paramètres $n$ et $x$. Par le théorème de transfert, 
\[ \mathbb{E}\left[ f \left( \frac{S_n}{n} \right)\right]=\sum_{i=1}^n {n \choose k} x^k(1-x)^{n-k}f\left( \frac{k}{n} \right) = B_{f,n}(x) \]
Dès lors, $|f(x)-B_{f,n}(x)|=\left|\mathbb{E}\left[f(x)-f \left( \frac{S_n}{n} \right)\right]\right| \leq \mathbb{E}\left|f(x)-f \left( \frac{S_n}{n} \right)\right|$.
\item $f$ est continue -- donc uniformément continue -- sur [0,1] (théorème de Heine). Ansi, pour $ \delta > 0 $ fixé, lorsque $|x-\frac{S_n}{n}| \leq \delta $, on a $\left|f(x)-f \left( \frac{S_n}{n} \right)\right| \leq \omega(\delta)$. De plus, on a toujours $\left|f(x)-f \left( \frac{S_n}{n} \right)\right| \leq 2\|f\|_\infty$. En notant $A$ l'événement $\{ |x-\frac{S_n}{n}| \leq \delta  \}$, il vient
\[\mathbb{E}\left|f(x)-f \left( \frac{S_n}{n} \right)\right| \leq \omega(\delta) \mathbb{P}(A) + 2\|f\|_\infty \mathbb{P}(A^C).\]
L'inégalité de Tchebytchev permet d'écire : 
\[ \mathbb{P}(A^C) = \mathbb{P}\left(\left| x -\frac{S_n}{n} \right| > \delta \right) \leq \frac{\Var(\frac{S_n}{n})}{\delta^2}=\frac{\Var(S_n)}{n^2 \delta^2}=\frac{x(1-x)}{n \delta^2} \leq \frac{1}{4 n \delta^2}. \]
On a finalement, en majorant $\mathbb{P}(A)$ par 1 :
\[ \forall x \in [0,1], \quad  |f(x)-B_{f,n}(x)| \leq \omega(\delta) + \frac{\|f\|_\infty}{2n\delta^2}, \]
d'où \[ \|f-B_{f,n}\|_\infty \leq \omega(\delta) + \frac{\|f\|_\infty}{2n\delta^2} \]
et \[ \limsup_{n \rightarrow \infty}\|f-B_{f,n}\|_\infty \leq \omega(\delta)  \]
Comme $\lim_{\delta \rightarrow 0} \omega(\delta))=0$, finalement
\[ \limsup_{n \rightarrow \infty}\|f-B_{f,n}\|_\infty =  \lim_{n \rightarrow \infty}\|f-B_{f,n}\|_\infty = 0,\]
ce qui montre la convergence uniforme de $B_{f,n}$ vers $f$ sur [0,1].
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
\item On a besoin ici de quelques propriétés du module de continuité uniforme de $f$, et on commence par admettre le résultat :
\begin{Lem}
$\omega$ est une fonction sous-additive : \[\forall h_1 h_2 , \quad \omega(h_1+h_2) \leq \omega(h_1) + \omega(h_2)\]
\end{Lem}
Par suite, pour tout entier naturel $n$ et $h$ réel positif, $\omega(nh) \leq n\omega(h)$. De plus, il est facile de voir que $\omega$ est croissante. Dès lors, pour $h_1$ et $h_2$ positifs :
\[ \omega(h_1h_2)\leq \omega[(1+\lfloor h_1 \rfloor) h_2] \leq (1+ \lfloor h_1 \rfloor)\omega(h_2) \leq (1+ h_1)\omega(h_2). \]
\item On a toujours, pour $x \in [0,1]$, $|f(x)-B_{f,n}(x)|\leq \mathbb{E}\left|f(x)-f \left( \frac{S_n}{n} \right)\right|$. Or par définition de $\omega$, 
\begin{alignat*}{1}
\mathbb{E}\left|f(x)-f \left( \frac{S_n}{n} \right)\right| & \leq \mathbb{E} \left[\omega\left( |x- \frac{S_n}{n} |\right)\right] \\
& \leq \mathbb{E} \left[\left(1+ \sqrt{n}\left|x- \frac{S_n}{n} \right| \right) \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right]\\\
& =\left(1+ \sqrt{n}\left\|x-\frac{S_n}{n}\right\|_1\right)\omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)
\end{alignat*}

Or $\left\|f(x)-f(\frac{S_n}{n})\right\|_1\leq \left\|f(x)-f(\frac{S_n}{n})\right\|_2$, puisqu'on intègre sur un espace de mesure finie. On calcule 
\begin{alignat*} {1}
\left\|x-\frac{S_n}{n}\right\|_2^2 &=x^2-\frac{2x}{n} \mathbb{E}(S_n)+\frac{\mathbb{E}(S_n^2)}{n^2}=x^2-\frac{2x}{n} (nx)+\frac{\mathbb{E}(S_n)^2+\Var(S_n)}{n^2}  \\ &= -x^2+\frac{n^2x^2+nx(1-x)}{n^2}=\frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{1}{4n},
\end{alignat*} d'où finalement
$|f(x)-B_{f,n}(x)| \leq \left(1+\sqrt{n}\sqrt{\frac{1}{4n}}\right)\omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\frac{3}{2}\cdot \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right), $ majoration indépendante de $x$ d'où
\[\|f(x)-B_{f,n}(x)\|_\infty \leq \frac{3}{2}\cdot \omega\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \]
\end{itemize}
\item On admet le résultat suivant :
\begin{Lem}[Inégalité de Khintchine] Soit $(R_n)$ une suite de variables aléatoires indépedantes de Rademacher (c.-à-d. de loi uniforme sur \{-1,1\}). $\forall X \in Vect(R_n), \|X\|_2 \leq \sqrt{2} \|X\|_1$
\end{Lem}
Soit $f_0 : x \mapsto |x-\frac{1}{2}|$. La deuxième inégalité triangulaire donne : \[\forall x,y, \quad |f_0(x)-f_0(y)| = \left||x-\frac{1}{2}|-|\frac{1}{2}-y|\right| \leq |x-y|,\]
d'où par définition du module de continuité uniforme : $\forall h, \quad \omega(h) \leq h.$
 \[\forall n, \|f_0-B_{f_0,n}\|_\infty \geq |f_0(\frac{1}{2})-B_{f_0,n}(\frac{1}{2})|=\sum_{i=1}^n {n \choose k}\frac{1}{2^n}\left|\frac{k}{n}-\frac{1}{2}\right|.\]
 On reconnait par le théorème de transport, en prenant $S_n=X_1+\cdots+X_n$ somme de $n$ variables indépendantes de Bernoulli, toutes de paramètre $\frac{1}{2}$ :
 \[ \mathbb{E}\left|\frac{S_n}{n}-\frac{1}{2}\right| =\frac{1}{2n}\mathbb{E}\left| 2S_n-n\right| = \frac{1}{2n} \|R_1+\cdots + R_n \|_1. \]
Où les variables aléatoires $(R_n)=(2X_n-1)$ sont indépendantes et de Rademacher. Or par l'inégalité de Khintchine, 

\[\frac{1}{2n} \|R_1+\cdots + R_n \|_1 \geq \frac{1}{2\sqrt{2}n}\|R_1+\cdots + R_n \|_2\]

\end{enumerate}
\end{proof}

\paragraph{Référence :}
Zuily-Queffelec, Éléments d'analyse pour l'agrégation.

\bibliographystyle{alpha-fr}
\bibliography{Agreg}

\end{document}
