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\newtheorem*{exe}{Exemple}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rmq}{Remarque}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\Large Théorème de Borel.
\end{center}

\medskip

Référence : \emph{F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, p359.}

\medskip

\begin{thm}
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels. Il existe une fonction $f\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que pour tout $n\geq 0$, $f^{(n)}(0)=a_n$.
\end{thm}
\begin{proof} 
\begin{lem} Existence de fonctions plateaux.

Il existe $\varphi\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 1 &\mathrm{si} & |x|\leq\frac{1}{2} \\ 0 &\mathrm{si} &|x|\geq 1 \\ \end{array}\right.$, $0\leq\varphi\leq 1$.

\end{lem}
\begin{proof} \ \\
\indent $\bullet$ Soit $\varphi_1(x)=\left\{\begin{array}{ccl} e^{-1/x} &\mathrm{si} & x>0 \\ 0 &\mathrm{si} &x\leq 0 \\ \end{array}\right.$. $\varphi_1$ est $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$. 

Montrons que $\varphi_1^{(k)}(x)=P_k\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$ avec $P_k$ polynôme.

Pour $k=0$, le résultat est vrai. 

Si $\varphi_1^{(k)}(x)=P_k\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$ alors $\displaystyle \varphi_1^{(k+1)}(x)=\frac{-P_k'\left(\frac{1}{x}\right)+P_k\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}e^{-1/x}$. D'où le résultat avec $P_{k+1}(X)=X^2(P_k(X)-P_k'(X))$.

Montrons que $\varphi_1$ est $\mathcal{C}^{\infty}$ avec $\varphi_1^{(k)}(0)=0$ pour tout $k$.

On procède par récurrence. Pour $k=0$, le résultat est vrai. 

Si $\varphi_1^{(k)}(0)=0$ alors $\displaystyle \frac{\varphi_1^{(k)}(x)-\varphi_1^{(k)}(0)}{x}=\left\{\begin{array}{ccl} \frac{1}{x}P_k\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x} &\mathrm{si} & x>0 \\ 0 &\mathrm{si} &x<0 \\ \end{array}\right. \underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0.$

$\bullet$ Soit $\varphi_2(x)=\varphi_1(x)\varphi_1(1-x)$. $\varphi_2$ est $\mathcal{C}^{\infty}$ à support $[0,1]$.

On pose $\displaystyle \varphi_3(x)=\frac{\int_0^x\varphi_2(t)\mathrm{d}t}{\int_0^1\varphi_2(t)\mathrm{d}t}$. On a $\varphi_3(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 1 &\mathrm{si} & |x|\leq\frac{1}{2} \\ 0 &\mathrm{si} &|x|\leq 0 \\ \end{array}\right.$ et $\varphi_3$ est $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.

Enfin, on pose $\varphi(x)=\varphi_3(2x+2)\varphi_3(2-2x)$. $\varphi$ convient.

\end{proof}

Soit $\displaystyle \varphi_k(x)=\varphi(\lambda_kx)\frac{a_kx^k}{k!}$. Montrons que l'on peut choisir $\lambda_k>0$ de façon à avoir convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ de $\displaystyle \sum_k\varphi_k$ et de chaque série dérivée.

$\bullet$ Pour $k\geq m$, par la formule de Leibniz, \[ \varphi_k^{(m)}(x)=a_k\sum_{p=0}^m\binom{m}{p}\varphi^{(m-p)}(\lambda_kx)\lambda_k^{m-p}\frac{x^{k-p}}{(k-p)!}. \]

Soit $M_m=\underset{i\leq m}{\mathrm{sup}}\left\|\varphi^{(i)}\right\|_\infty$ (existe car $\varphi$ est $\mathcal{C}^\infty$ à support compact).

Comme $\varphi(x)=0$ pour $|x|>1$, il suffit de majorer pour $|x|<\frac{1}{\lambda_k}$. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et $0\leq m \leq k$, on a \[ |\varphi_k^{(m)}(x)|\leq M_m|a_k|\sum_{p=0}^m{\binom{p}{m}\lambda_k^{m-p}\frac{\lambda_k^{p-k}}{(k-p)!}}\leq\frac{M_m|a_k|2^m}{\lambda_k^{k-m}(k-m)!}. \]

Soit $\lambda_k=\mathrm{max}(1,|a_k|)$. \\
On a $\lambda_k^{k-m}\geq\lambda_k\geq |a_k|$ pour $k-m\geq 1$. D'où $\displaystyle |\varphi_k^{(m)}(x)|\leq\frac{2^mM_m}{(k-m)!}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ et $k\geq m+1$.

$\bullet$ De plus, pour $0\leq k \leq m$, $\varphi_k^{(m)}$ est continue sur $\mathbb{R}$ est nulle en dehors de $[-1/\lambda_k;1/\lambda_k]$ d'où l'existence d'une borne uniforme. Ainsi \[ \sum_{k=0}^\infty\varphi_k^{(m)}=\sum_{k=m+1}^\infty\varphi_k^{(m)}+\sum_{k=0}^\infty\varphi_k^{(m)}\] converge normalement sur $\mathbb{R}$ pour tout entier $m$.

Donc $\displaystyle u=\sum_k\varphi_k$ est $\mathcal{C}^\infty$ et on peut dériver terme à terme. Comme $\displaystyle \varphi_k(x)=a_k\frac{x^k}{k!}$ sur $\left\{|x|<\frac{1}{2\lambda_k}\right\}$, en particulier, $u^{(m)}(0)=a_m$ ce qui conclut.

\end{proof}

\begin{rmq} \
\indent \begin{itemize}
\item Cela signifie qu'il existe toujours une fonction $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ admettant un développement de Taylor donné (mais le rayon de convergence peut être nul).
\item En conséquence, on peut prolonger toute fonction $\mathcal{C}^\infty$ sur un compact en une fonction $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
\end{itemize}

\end{rmq}


\end{document}