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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\newcommand{\argch}{\operatorname{argch}}
\date{}
\title{Calcul d'une intégrale}
\begin{document}
 \maketitle
On a $$F(a)=\int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1+a\cos x)}{\cos x} = \left\{\begin{matrix}  \frac{\pi^2}{8} - \frac{\arccos^2 a}{2} & \text{si $a\in ]-1,1[$} \\ \frac{\pi^2}{8} + \frac{\argch^2 a}{2} &\text{si $a > 1$} \end{matrix} \right..$$
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.5cm}

L'intégrande est continue pour $a > -1$ (prolongeable par continuité en $\frac{\pi}{2}$), donc l'intégrale existe bien. \\
On introduit $f : (a,x) \mapsto \frac{\ln(1+a\cos x)}{\cos x}$, prolongée en $\pi/2$. $f$ est dérivable par rapport à $a$ de dérivée $\frac{1}{1+a \cos x}$ et qui est donc continue sur $[0,\frac{\pi}{2}]$. On peut donc dériver sous l'intégrale et obtenir
$$F'(a)=\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+a\cos x}.$$
Cette intégrale se calcule facilement en posant $u=\tan \frac{t}{2}.$ On obtient alors
$$ F'(a)=\int_0^1 \frac{1}{1+a \frac{1-u^2}{1+u^2}} \frac{2}{1+u^2} = \int_0^1 \frac{2}{(1+a)+(1-a)u^2}.$$
On distingue ensuite selon $a$.
\begin{itemize}
 \item Si $a \in ]-1,1[$, on peut écrire $a = \cos (2\theta)$ avec $\theta \in ]0,\pi/2[$, d'où
$$F'(a)=\int_0^1 \frac{du}{\cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \int_0^1 \frac{du}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2}{\sin(2\theta)} \int_0^{\tan \theta} \frac{dv}{1+v^2} = \frac{2\theta}{\sin 2 \theta}.$$
Ainsi, 
$$F'(a) = \frac{\arccos a}{\sqrt{1-a^2}} \quad \text{et} \quad F(a)=F(0)+\int_0^a \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\arccos^2 a}{2}.$$
$F$ étant continue en 1, un passage à la limite montre que $F(1) = \lim_{x \to 1^-} F(x) = \frac{\pi^2}{8}.$
\item Si $a > 1$, on écrit $a= 2 \cosh \theta$ avec $\theta > 0$. Alors
$$F'(a)=\int_0^1 \frac{du}{\cosh^2 \theta - u^2 \sinh^2 \theta} = \frac{1}{\cosh^2} \int_0^1 \frac{du}{1 - u^2 \tanh^2 \theta} = \frac{1}{\cosh^2 \theta} \int_0^{\tanh \theta} \frac{dv}{1+v^2} = \frac{2\theta}{\sinh 2\theta}.$$
Ainsi,
$$F'(a)= \frac{\argch a}{\sqrt{a^2-1}} \quad \text{donc} \quad F(a)=F(1) + \int_1^a \frac{\argch x }{\sqrt{x^2-1}} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\argch^2 a}{2}.$$
\end{itemize}


\end{document}
