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\title{Théorème de Cauchy-Peano}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\begin{thm}[Cauchy-Peano]
Soit $I$ un intervalle non vide de $\RR$, $U$ un ouvert de $\RR^n$, $(t_0,x_0)\in I\times U$ et $f:I\times U\to\RR^n$ une application continue. On considère le problème de Cauchy
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}X'=f(t,X)\\X(t_0)=x_0.\end{array}\right.
\label{eq:1}
\end{equation}
Alors $(\ref{eq:1})$ admet une solution locale.
\end{thm}
\begin{proof}
On commence par remarquer que $(\ref{eq:1})$ est équivalent à
\[X(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(s,X(s))\dt s\]
car $f$ est continue.

On va se placer sur un cylindre de sécurité : soit $r,M>0$ tels que
\[\bar B(x_0,r)\subset U,\quad J:=[t_0-\frac rM,t_0+\frac rM]\subset I\quad\text{et}\quad\sup_{(t,x)\in J\times B(x_0,r)}\|f(t,x)\|\le M.\]
On note
\[\mathcal A:=\{x:J\to\bar B(x_0,r)\ M-\text{lipschitzienne telle que }x(t_0)=x_0\}\]
et on définit l'opérateur $T$ sur $\mathcal A$ par
\[T(x)(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(s,x(s))\dt s.\]
Le but est donc de montrer que $T$ admet un point fixe. On commence par montrer que $T$ est bien défini : pour $x\in\mathcal A$ et $t\in J$, on a
\[\|T(x)(t)-x_0\|=\left\|\int_{t_0}^tf(s,x(s))\dt s\right\|\le M|t-t_0|<r\]
et pour $t_1,t_2\in J$,
\[\|T(x)(t_2)-T(x)(t_1)\|=\left\|\int_{t_1}^{t_2}f(s,x(s))\dt s\right\|\le M|t_2-t_1|,\]
donc $T$ est bien défini.

$\mathcal A$ est bien convexe, fermé et on montre par le théorème d'Ascoli que $\mathcal A$ est compact. En effet, pour $t\in J$, $\{x(t)\mid x\in\mathcal A\}\subset\bar B(x_0,r)$ donc $\mathcal A$ est ponctuellement bornée (on est en dimension finie) et pour $x\in\mathcal A$,
\[\|x(t_1)-x(t_2)\|\le M|t_1-t_2|\]
donc $\mathcal A$ est bien équicontinue.

Montrons que $T$ est continu pour pouvoir appliquer le théorème de Schauder. Soit $x,y\in\mathcal A$ et $\varepsilon>0$, alors $f$ est uniformément continue sur $J\times\bar B(x_0,r)$ donc il existe $\eta>0$ tel que
\[\|x-y\|_\infty<\eta\Rightarrow\|f(t,x(t))-f(t,y(t))\|<\varepsilon.\]
D'où, pour $\|x-y\|_\infty<\eta$,
\[\|T(x)(t)-T(y)(t)\|\le\int_{t_0}^t\|f(s,x(s))-f(s,y(s))\|\dt s<\varepsilon\frac Mr,\]
donc $T$ est continu.

Finalement, $\mathcal A$ est un convexe fermé non vide, $T$ est continu de $\mathcal A$ dans $\mathcal A$ et $\mathcal A$ est compact donc $T(\mathcal A)$ l'est aussi, on peut donc appliquer le théorème de Schauder qui donne l'existence d'un point fixe pour $T$.
\end{proof}
\end{document}