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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
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\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\date{}
\title{Théorème de Cauchy-Arzela-Peano}
\begin{document}
 \maketitle
Ce théorème se trouve dans Demailly, \emph{Analyse numérique et équations différentielles} (mais pas mal modifié).
\begin{thm}
 Soit $f(t,y)$ continue. Soit $C=[t_0-T,t_0+T] \times \overline B(y_0,r_0)$ un cylindre de sécurité avec $T \leqslant \min(T_0,r_0/M)$ pour l'équation $y'=f(t,y)$. Alors il existe une solution avec conditions initiales $y(t_0)=y_0$ sur $[t_0-T,t_0+T]$.
\end{thm}
\begin{proof}
 Commençons par montrer que $f$ vérifie le problème de Cauchy sur $I$ équivaut au problème intégral $y$ continue sur $I$ et pour tout $t\in I$, $(t,y(t))\in U$ et $\forall t \in I, \; y(y)=y_0+\int_{t_0}^t f(u,y(u))du.$ \\
En outre, il existe bien un cylindre de sécurité : $f$ est définie sur un ouvert $H \times U$, donc il existe un cylindre $C_0=[t_0-T_0,t_0+T_0]\times \overline B(y_0,r_0) \subset U$. On note $M=\sup_I f$ et $T \leqslant \min (T_0,r_0/M)$ : cela convient. On note $C$ ce cylindre.

\paragraph{Construction d'une solution par la méthode d'Euler.} On se donne une subdivision $t_0<t_1<\cdots<t_N=t_0+T$ régulière et on note $h=T/(N+1)$. on construit $y_n$ par récurrence partant de $y_0$ en posant $y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$ et en reliant les points par des droites. On note $y$ la solution approchée obtenue.\\
Alors $y_n$ reste dans $\overline B(y_0,r_0)$. On montre ceci par récurrence, en supposant plus précisément que :
$$y([t_0,t_n]) \subset \overline B(y_0,r_0) \quad \text{et} \quad\forall t \in [t_0,t_n]\; \Vert y(t) - y_0\Vert \leqslant M\vert t-t_0\vert.$$
Si c'est vrai pour $n$, en particulier $(t_n,y_n)\in C$ donc pour $t\in [t_n,t_{n+1}]$, on a $y(t)-y_n = y_n + (t-t_n)f(t_n,y_n)$ donc $\Vert y(t)-y_0\Vert \leqslant M |t-t_n| + \Vert y_n-y_0\Vert \leqslant M|t-t_0|$, ce qui conclut la récurrence.
\paragraph{Solutions $\varepsilon$-approchées.} On appelle solution $\varepsilon$-approchée de $f$ une fonction $ \mathcal C^1$ par morceaux (sur une subdivision $a=a_0< \cdots < a_N=b$) telle que $\forall t \in[a,b], \; (t,y(t)) \in U$ et $\forall t \in ]a_n,a_{n+1}[, \; \Vert y'(t)-f(t,y(t)) \Vert \leqslant \varepsilon.$ Si $y$ est issue d'une méthode numérique, $\varepsilon$ est appelé erreur de la méthode.
\paragraph{Majoration de l'erreur.} On introduit le module de continuité 
$$\omega_f(\delta)=\max \{\Vert f(t_1,y_1)-f(t_2,y_2)\Vert \; \mid \; \Vert y_1-y_2\Vert + |t_1-t_2| \leqslant \delta \}.$$
Comme $C$ est compact, $f$ est uniformément continue sur $C$ donc $\omega_f(\delta) \underset{\delta \to 0}{\longrightarrow} 0$.  \\
Si $y$ est la solution approchée par la méthode d'Euler à $N$ points, alors l'erreur vérifie 
$$\varepsilon \leqslant \omega_f((M+1)h).$$
Pour ce faire, majorons $\Vert y'(t) - f(t,y(t)) \Vert$. Pour $t\in ]t_n,t_{n+1}[$, on a $\Vert y(t)-y_n \Vert \leqslant Mh$ et $|t-t_n|\leqslant h.$ Ainsi, $\Vert f(t_n,y_n)-f(t,y(t)\Vert \omega_f((M+1)h$, ce qu'il fallait montrer.
\paragraph{Convergence des solutions approchées.} Si $y_p$ est une suite de solutions $\varepsilon_p$-approchées obtenues par la méthode d'Euler qui converge uniformément vers $y$, alors elle converge vers une solution exacte du problème de Cauchy. \\
Puisque $\Vert y'_p(t)-f(t,y_p(t)) \Vert \leqslant 1/p$, une intégration donne
$$\left \Vert y_p(t) -y_0 - \int_{t_0}^t f(u,y(u))du \right \Vert \leqslant 1/p |t-t_0|.$$
Or, si $\delta_p = \sup \Vert y_p-y\Vert$, alors $\Vert f(t,y_p(t)) - f(t,y(t)) \Vert \leqslant \omega_f(\delta_p)$ qui tend vers 0. \\
Ainsi, par convergence uniforme, on peut passer à la limite dans l'intégrale et obtenir $y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(u,y(u)) du$. $y$ est continue par convergence uniforme, donc est solution du problème de Cauchy. \\
\paragraph{Conclusion.} soit $y_p$ une suite de solutions approchées construite par la méthode d'Euler vérifiant $h\leqslant T/p$. Alors l'erreur est $\varepsilon_p \leqslant \omega_f((M+1)T/p)$ qui tend vers 0. Les $y_p$ sont lipschitziennes par construction de rapport $M$. Par Ascoli, on peut extraire une suite qui converge uniformément vers $y$ qui devient une solution.


\paragraph{}
\end{proof}


\end{document}