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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\date{}
\title{Critère de Weyl}
\begin{document}
 \maketitle
Ce développement se trouve dans les oraux X-ENS (tome 1 d'analyse, me semble-t-il).
Soit $(u_n)$ une suite de $[0,1]$. Pour $0\leqslant a \leqslant b \leqslant 1$, on note $X_n=Card\{k\in \llbracket 1,n\rrbracket \; \mid \; u_k \in [a,b]\}$. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}[i)]
 \item $\frac{X_n(a,b)}{n}$ tend vers $b-a$ pour tout couple $(a,b)$.
\item Pour toute fonction $f : [0,1]\to \mathbb R$ continue, on a $\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k) = \int_0^1 f(t) dt}.$
\item Pour tout $p \in \mathbb N^\ast$, on a $\displaystyle{\frac 1n \sum_{k=1}^n e^{2i\pi p u_k} =0.}$
\end{enumerate}
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Montrons que $i) \Rightarrow ii)$ : remarquons que $X_n(a,b)/n = \sum_{k=1}^n 1_{[a,b]}(u_k)$ donc que $ii)$ est vérifiée pour les indicatrices. Par linéarité, c'est aussi le cas pour les fonctions en escalier. Pour les fonctiosn continues, on approche $f$ uniformément à $\varepsilon$ près par une fonction en escalier et la conclusion est immédiate. \\

Montrons que $ii) \Rightarrow i)$ : on se fixe $[a,b]$ et $f=1_{[a,b]}$ et on va approcher $f$ par une suite de fonctions continues $g_n$, en norme $L^1$. On construit $g_n$ affine par morceaux (nulle sur $[0,a-1/n]$, égale à 1 sur $[a,b]$ et nulle sur $[b+1/n,1]$). Il est clair qu'on converge en norme $L^1$, ce qui est exactement le résultat cherché (bien entendu, si $a=0$ ou $b=1$, il faut adapter).

$ii) \Rightarrow iii)$ est clair avec la fonction $x \mapsto e^{2i\pi p x}.$

Montrons $iii) \Rightarrow ii)$. Par linéarité, on a la propriété $ii)$ pour tout polynôme trigonométrique. Or, toute fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)$ est limite uniforme de polynômes trigonométriques, ce qui permet de conclure. 

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\paragraph{Exemple.} La suite $(n\theta)_n$ est équi-répartie si et seulement si $\theta \notin \mathbb Q$. On utilise 
$$\frac{1}{N}\sum_{k=0}^N e^{2i\pi k\theta} = \frac{1}{N}\frac{1-e^{2i\pi N \theta}}{1-e^{2i\pi \theta}} \longrightarrow 0$$
car $e^{2i\pi \theta} \neq 1$. \\
Dans le cas où $\theta = p/q$, il suffit de remarquer que la suite $(e^{2i\pi n \theta})$ est périodique donc $(n\theta)$ ne risque pas d'être équi-répartie.



\end{document}