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\title{Développement dyadique et Bernoulli}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
À partir d'une variable de loi uniforme on construit une suite de Bernoulli $\frac12$ indépendantes, on en déduite une suite de variables indépendantes pour n'importe quelle suite de lois et on fini par une construction de mesures diffuses étrangèresz à la mesure de Lebesgue.
\end{abstract}

\section{Des suites i.i.d. de Bernoulli et d'uniformes}
Soit $X\sim U[0,1]$, soit $D_n$ le $n^\text{ème}$ terme du développement dyadique de $X$ (bien défini si $X(\omega)$ n'est pas un rationel dyadique c'est-à-dire un $\frac p{2^q}$, qui sont de mesure de Lebesgue nulle).
Considérons un n-uplet $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$ et notons
\[I_{\varepsilon}^n=\big[\sum_{j=1}^n\frac{\varepsilon_j}{2^j},\sum_{j=1}^n\frac{\varepsilon_j}{2^j}+\frac1{2^n}\big]\]

\[\mathbb{P}\big(\bigcap_{j=1}^n(D_j=\varepsilon_j)\big)=\lambda(I_{\varepsilon}^n)=\frac1{2^n}\]

Et donc

\[\mathbb{P}(D_j=1)=\sum_{\varepsilon/\varepsilon_j=1}\lambda(I_{\varepsilon}^n)=\frac12\]
 
Et ainsi

\[\mathbb{P}\big(\bigcap_{j=1}^n(D_j=\varepsilon_j)\big)=\prod_{j=1}^n\mathbb{P}(D_j=\varepsilon_j)\]

$n$ étant arbitraire, on a bien $(D_n)_\mathbb{N}\sim^\perp \mathcal{B}(\frac 12)$. Soit $\phi:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ bijective, posons $Y_j=\sum_{k\geq1}\frac1{2^k}D_{\phi_j(k)}$
La loi de $Y_j$ est égale à la loi uniforme sur le $\pi$-système des intervalles dyadiques (qui engendre la tribue des boreliens) et $Y_j$ est mesurable par rapport à la tribue engendrée
par les $D_{\phi_j(k)}$ qui sont indépendants des $D_{\phi_i(k)}$ pour $i\neq j$, donc les $(Y_j)$ sont indépendants.

\section{Des suites indépendantes de lois quelconques}

Soit $\mu$ une loi, $F$ sa fonction de répartition, considérons son inverse généralisée $G$ définie par $G(x)=\inf\{y/F(y)\leq x\}$. On a alors
\[y\leq G(x)\Leftrightarrow F(y)\leq x\]

En effet, le sens direct découle de la définition de $G$ et de la croissance de $F$, la réciproque de croissance et de la continuité à droite de $F$ (et donc $F(G(x))=x$).
Ainsi, si $X\simeq U[0,1]$,
\[\mathbb{P}(G(X)\leq y)=\mathbb{P}(X\leq F(y))=F(y)\]

Donc $G(X)$ a pour fonction de répartition $F$, autrement dit suit la loi $\mu$.

\section{De singulières mesures}

Soit $(Y_n)_\mathbb{N}\sim^\perp \mathcal{B}(p)$ et $X=\sum_{n\in\mathbb{N}^*}\frac1{2^n}Y_n$, alors

\begin{eqnarray*}
 \mathbb{P}_X(\{\omega\}) & = & \mathbb{P}_X(\forall n, D_n=\omega_n)\\
& \leq & \mathbb{P}_X(D_1=\omega_1\dots D_n=\omega_n)\\
& \leq & \max(p,1-p)^n \rightarrow 0
\end{eqnarray*}

D'autre part, d'après la loi des grands nombres, l'évènement $\frac1n(D_1+\dots+D_n)\rightarrow p$ est de probabilité 1 si les $D_i\sim\mathcal{B}(p)$ et de probabilité 0 si les $D_i\sim\mathcal{B}(r)$ avec $r\neq p$.

\bigskip

Soit $F$ la fonction de répartition de $X$, soit $0\leq x < \frac1{2^n}$, on a

\begin{eqnarray*}
 F(\frac1{2^n}+x) & = & \mathbb{P}_X(\omega\leq \frac1{2^n}+x) \\
& = & \mathbb{P}_X\big(\forall i\in[|1,n-1|], D_j(\omega)=0\,\text{ et }\,x\geq\sum_{k\geq n}\frac1{2^k}D_k(\omega)\big)\\
& = & \frac1{2^{n-1}}\mathbb{P}_X\big(2^{n-1}x\geq\sum_{k\geq 1}\frac1{2^k}D_k(\omega)\big)\\
& = & \frac1{2^{n-1}}F(2^{n-1}x)
\end{eqnarray*}

Autrement dit, $F$ est fractale.

\section*{Références}

Ouvrard, ``probabilités 2''

\end{document}
