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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\date{}
\title{Théorème de Dirichlet faible}
\begin{document}
 \maketitle
 
Ce développement se trouve dans les recueils d'oraux X-ENS.\\
Le but de ce développement est de montrer une version faible du théorème de Dirichlet :
\begin{thm}
 Soit $n \geqslant 1$ fixé. Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo $n$.
\end{thm}
Pour ce faire, on indroduit l'ensemble $\mathcal P_d$ des racines primitives $d$\ieme{} de l'unité (on note $\mathbb U_d$ les racines $d$\ieme{} de l'unité), et $\Phi_d$ le $d$\ieme{} polynôme cyclotomique :
$$\Phi_d = \prod_{\xi \in \mathcal P_d} (X-\xi).$$
On admet aussi le lemme suivant (dont la démonstration se justifie sans peine via l'algorithme d'Euclide) : si $A,B \in \mathbb Z[X]$ avec $B$ unitaire, alors le quotient et le reste de la division euclidienne dans $\mathbb C[X]$ de $A$ par $B$ sont dans $\mathbb Z[X]$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item{$\Phi_d$ est à coefficients entiers.} Soit $\xi \in \mathbb U_n$. Alors $\xi$ est d'ordre $d\mid n$. Aussi, 
$$\mathbb U_n = \bigcup_{d \mid n} \mathcal P_d \qquad \text{(union disjointe).}$$
De fait, $$X^n-1 =\prod_{\xi \in \mathbb U_n} (X-\xi)= \prod_{d \mid n} \Phi_d.$$
On va maintenant établir l'appartenance à $\mathbb Z[X]$ de $\Phi_n$ par récurrence sur $n$. \\
Pour $n=1$, c'est clair. \\
Si c'est vrai pour tout $k < n$, puisque $\Phi_n$ est le quotient de $X^n-1$ par $\prod_{d \neq n} \Phi_d$, qui est à coefficients entiers par hypothèse de récurrence, et unitaire. Il est dont à coefficients entiers.
\item{Preuve du théorème} On fixe donc $n \in \mathbb N^\ast$. Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme $\lambda n + 1$, notés $p_1 < \cdots < p_r$. On pose $N=n p_1 p_2 \cdots p_r$. \\
Soit $a \in \mathbb Z$ et $p$ premier tels que $p$ divise $\Phi_n(a)$ mais aucun des $\Phi_d(a)$ pour $d$ diviseur strict de $n$. $p$ divise $a^N-1$ donc donc $N$ divise l'ordre de $a$ dans $(\mathbb Z / p\mathbb Z)^\ast$. Montrons que cet ordre est $N$. \\
Dans $(\mathbb Z / p\mathbb Z)^\ast$, on a
$$\overline a ^d -1 = \prod_{d'\mid d} \underbrace{\overline{\Phi_{d'}(a)}}_{\neq 0 \text{ car } d'\mid n}.$$
Par intégrité, $\overline a ^d -1 \neq 0$ et l'ordre de $a$ est exactement $N$, et divise $p-1$. ceci implique que $p \equiv 1 \mod N$, donc que $p\equiv 1 \mod n$, donc que $p$ est l'un des $p_i$. Or c'est impossible, car $p \equiv 1 \mod N$. L'ensemble des premiers de la forme $\lambda n+1$ est donc infini.

Reste à montrer l'existence de tels couples $(a,p)$ tels que $p$ divise $\Phi_n(a)$ et pas $\Phi_d(a)$ pour $d$ diviseur strict de $n$. 
Soit $B \in \mathbb Z[X]$ tel que $X^n-1=\Phi_n(X) B(X)$. Puisque $\Phi_n$ et $B$ n'ont aucune racine commune dans $\mathbb C$, ils sont premiers entre eux dans $\mathbb C[X]$, donc dans $\mathbb Q[X]$. Il existe donc $U,V \in \mathbb Q[X]$ tels que $UB+V\Phi_n =1.$ \\
Soit $a \in \mathbb Z$ tel que $U'=aU \in \mathbb Z[X]$ et $V'=aV \in \mathbb Z[X]$. Alors, $a=U'B+V'\Phi_n$, et, en particulier,
$$a=U'(a)B(a)+V'(a)\Phi_n(a).$$
Soit $p$ premier divisant $\Phi_n(a)$ : $p$ divise alors $a^n-1$. Dans $\mathbb Z /p \mathbb Z$, $\overline a^n = 1$ donc $\overline a$ est inversible, donc $a \wedge p =1$. Si $p$ divise l'un des $\Phi_d(a)$ ($d\neq n$), $p$ diviserait $B(a)$ donc diviserait $a$, ce qui est impossible. Le couple ainsi défini convient donc.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}

