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\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newcommand{\ima}{\operatorname{Im}}
\date{}
\title{Décomposition de Dunford}
\begin{document}
\maketitle
Ce développement (mais pas son application) se trouve dans le tome \emph{Algèbre} de Xavier Gourdon.
 Soit $E$ un $K-$espace vectoriel et $f \in \mathscr{L}(E)$ de polynôme caractéristique scindé sur $K$. Alors, il existe un unique couple $(d,n)$ d'endomorphismes tels que $d$ est diagonalisable, $n$ est nilpotent, $n$ et $d$ commutent et $f=d+n$. De plus, $d$ et $n$ sont des polyômes en $f$.

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\begin{proof}
 Lemme. Soit $f\in \mathscr{L}(E)$ et $F$ un polynôme annulateur de $f$, de décomposition en facteurs irréductibles $F=\beta M_1^{\alpha_1} \cdots M_s^{\alpha_s}$. Pour tout $i$, on note $N_i=\ker M_i^{\alpha_i} (f)$. Alors, $E=N_1\oplus \cdots \oplus N_s$ et, pour tout $i$, la projection su $N_i$ par rapport à $\bigoplus_{j\neq i} N_j$ est un polynôme en $f$.
\begin{proof}
La décomposition $E=\bigoplus N_i$ découle immédiatement du lemme des noyaux. On pose alors $Q_i=\prod_{i\neq j} M_j^{\alpha_j}$. Les $Q_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble (pas de facteur commun...). Bézout donne alors l'existence de $U_1,\cdots,U_n$ tels que 
$$Id=U_1Q_1(f)+U_2Q_2(f)+\cdots + U_nQ_n(f).$$
En notant $P_i=U_iQ_i$ et $p_i=P_i(f)$, on obtient \begin{equation}Id=\sum_{i=1}^s p_i(f). \label{decid}\end{equation} Par ailleurs, si $i\neq j$, par construction, $F$ divise $Q_iQ_j$ donc $p_i\circ p_j (f) = Q_iQ_j U_iU_j(f) = 0$.

En composant la première égalité par $p_i$, on obtient $p_i=\sum p_i \circ p_j$, donc $p_i=p_i^2$, ce qui montre que les $p_i$ sont des projecteurs. Montrons que $\ima p_i = N_i=\ker M_i^{\alpha_i}(f)$. \\
$$M_i^{\alpha_i}(f)(p_i(x))=M_i^{\alpha_i} P_i(f)(x)=M_i^{\alpha_i} U_i Q_i (f)(x)=U_i(F(f))(x)=0$$ donc $\ima p_i \subset N_i$. \\
Pour l'insclusion réciproque, choisissons $x \in N_i$. D'après la décomposition \eqref{decid}, $x=p_1(x)+\cdots+p_s(x)$. Or, pour tout $j\neq i$, $p_j(x)=U_jQ_j(f)(x) = 0$ car $M_i^{\alpha_i}$ divise $Q_j$. De fait, $x=p_i(x)$, et $\ima p_i = N_i$. \\
Reste à montrer que $\ker p_i = \bigoplus_{i\neq j}N_j$. Si $x \in N_j$, on a vu que $x=p_j(x)$ donc $p_i(x)=p_i\circ p_j(x)=0$ et $\bigoplus_{j\neq i} N_j \subset \ker p_i$. Réciproquement, si $x \in \ker p_i$, \eqref{decid} donne $x=\sum_{i\neq j} p_j(x) \in \bigoplus_{j\neq i} N_j \subset \ker p_i$.
\end{proof}
Passons maintenant à la démonstration du théorème proprement dit, en commençant par l'existence. \\
On note le polynôme caractéristique $\chi_f=\prod_{i=1}^s (X-\lambda_i)^{\alpha_i}.$ On va appliquer la proposition précédente avec $F=\chi_f$. On a alors $N_i=\ker (f-\lambda_i)^{\alpha_i}$, $M_i=X-\lambda_i$ et $p_i$ les projecteurs sur $N_i$ parallèlement à $\bigoplus_{j\neq i}N_j$. On pose $d=\sum_{i=1}^s \lambda_i p_i$. Ainsi construit, $d$ est naturellement diagonalisable. On pose aussi $n=f-d= \sum_{i=1}^s (f-\lambda_i Id)p_i$. Puisque les $p_i$ sont des projecteurs, qu'ils commutent (comme polynômes en $f$) avec $f$ et que $\forall i\neq j\; p_i\circ p_j=0$ (les termes croisés disparaissent donc), on peut montrer par récurrence sur $q$ que
$$\forall q \in \mathbb N \; n^q=\sum(f-\lambda_i)^q p_i.$$
Or, si $q=\sum_i \alpha_i$, on a $(f-\lambda_i)^q p_i = (X-\lambda_i)^q P_i(f) = 0$ car $\chi_f$ divise $(X-\lambda_i)^q P_i$ (voir preuve du lemme : $P_i=U_i \prod_{j\neq i}(X-\lambda_j)^{\alpha_j}$). \\
$d$ et $n$ sont donc des polynômes en $f$, et $n$ est bien nilpotent, c'est ce qu'il fallait montrer.

Pour l'unicité, soit $(d',n')$ un autre couple (diagonalisable, nilpotent) qui commutent et tel que $f=d'+n'$. Alors, on a $d-d'=n'-n$. $d'$ commute avec $n'$, donc avec $f=d'+n'$ donc avec tout polynôme en $f$, en particulier avec $d$, donc $d$ et $d'$ sont diagonalisable dans une même base, ce qui montre que $d-d'$ est diagonalisable. De même, $n$ et $n'$ commutent donc $n-n'$ est nilpotent (si $q$ est l'indice de $n$ et $q'$, celui de $n'$, $q+q'$ convient...). Or une matrice nilpotente et diagonalisable est nulle, donc $d=d'$ et $n=n'$.
\end{proof}
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Application : si $A \in \mathcal M_n(\mathbb C)$, $A$ est diagonalisable si et seulement si $\exp(A)$ l'est. \\
Pour démontrer cette propriété ($\Leftarrow$), on écrit $A=D+N$, et on pose $n$ l'indice de nilpotence de $N$. Il faut montrer que $n=1$. On a alors $\exp(A)=\exp(D)\exp(N)$, où
$$\exp(N)=I_n+\underbrace{N+\frac{N^2}{2!}+\cdots+\frac{N^{n-1}}{(n-1)!}}_{=N'},$$
c'est-à-dire que $\exp(A)=\exp(D)+N'\exp(D).$ $N'$ est nilpotente (d'incide $\geqslant n$). Puisque $N$ commute avec D, $N'$ aussi et $N'$ commute avec $\exp(D)$, donc $N'\exp(D)$ est nilpotente et commute avec $\exp(D)$. Ces deux matrices forment donc la décomposition de Dunford de $A$, et, puisque cette dernière est diagonalisable, on a $N'\exp(D)=0$, donc $N'=0$ ($\exp D \in GL_n$\dots{}). De fait,
$$0=N+\frac{N^2}{2!}+\cdots+\frac{N^{n-1}}{(n-1)!}$$ 
donc $X+\frac{X^2}{2!}+\cdots+\frac{X^{n-1}}{(n-1)!}$ divise $X^n$, ce qui impose $n=1$ et conclut la démonstration.

\end{document}
