\documentclass[a4paper]{article}
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\author{}
\title{Ellipso\"ide de John-L\oe{}wner}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{thm}[de John-L\oe{}wner]
    Soit $K$ un compact d'intérieur non vide de $\R^n$. Il existe un unique ellipso\"ide centré en $O$ de volume minimal contenant $K$.
\end{thm}

\begin{proof}
    On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne usuelle. Un ellipso\"ide plein centré en $O$ a une équation du type $q(x)\leqslant 1$ où $q\in Q^{++}$ (\ie{} l'ensemble des formes quadratiques définies positives).

    On note $\mathcal E_q = \{x\in \R^n~|~ q(x) \leqslant 1\}$ l'ellipsoide associé à $q\in Q^{++}$.

    \begin{lem}
        Le volume de $\mathcal E_q$ est 
        $$V_q = \frac{V_0}{\sqrt{\det(q)}},$$ où $V_0$ est le volume de la boule unité pour la norme euclidienne canonique.
    \end{lem}
    \begin{prooflem}
        Dans une certaine base orthogonale, $q$ est de la forme 
        $$q(x) = \sum_{i=1}^n a_i x_i^2.$$
        $q$ est définie positive, donc tous les $a_i$ sont strictement positifs.

        On a donc $$V_q = \int_{\sum a_ix_i^2 \leqslant 1} \diff x_1 \ldots \diff x_n.$$
        On effectue le changement de variables $t_i = \sqrt{a_i} x_i$ pour $i\in \Lbrack1,n\Rbrack$.
        C'est un $\mathcal C^1$-difféomorphisme de jacobien $\frac{1}{\sqrt{a_1\ldots a_n}}$, et on obtient donc $$V_q = \int_{\sum t_i^2 \leqslant 1} \frac{\diff t_1 \ldots \diff t_n}{\sqrt{a_1\ldots a_n}}.$$

    De plus, le déterminant de $q$ est indépendant de la base choisie, et vaut $a_1\ldots a_n$.
    \end{prooflem}


    Par le lemme précédent, le problème consiste maintenant à montrer qu'il existe une unique forme quadratique définie positive $q \in Q^{++}$ telle que $D(q)$ soit maximal, et telle que $\forall x \in K,~q(x) \leqslant 1$.

    On munit l'ensemble des formes quadratiques $Q$ de la norme $$N(q) = \sup_{||x||\leqslant 1} |q(x)|.$$

    On pose $\mathcal A = \{q\in Q^+~|~ \forall x \in K, q(x) \leqslant 1\}$. On remarque que si $q\in \mathcal A$ est définie positive, alors $K \subset \mathcal E_q$. On va donc chercher à maximiser $D(q)$ sur ce domaine.

    \begin{lem}
        $\mathcal A$ est un compact non vide de $Q$.
    \end{lem}

    \begin{prooflem}
        \begin{itemize}
            \item[$\mathcal A$ est non vide~:] $K$ est compact, donc il est borné~: soit $M$ tel que $\forall x \in K,~||x||\leqslant M$.

            En posant $q_1(x) = \frac{||x||^2}{M^2}$, on a $q_1 \in Q^{++} \subset Q^{+}$, et pour tout $x$ de $K$, $q_1(x) \leqslant 1$.

            Donc $q_1 \in \mathcal A$, et donc $\mathcal A$ est non vide.

            \item[$\mathcal A$ est fermé~:] On remarque que la convergence dans $Q$ implique la convergence faible ; en effet, si $q_n$ converge dans $Q$ vers $q$, alors
            $$\forall x \in \R^n,~|q_n(x) - q(x)| \leqslant N(q_n-q) ||x||^2.$$

            Par suite~: $q(x) = \lim q_n(x) \geqslant 0$ et $q(x) = \lim q_n(x) \leqslant 1$.

            Donc $q \in \mathcal A$.

            \item[$\mathcal A$ est borné~:] $K$ est d'intérieur non vide, donc $K$ contient une boule centrée en $a$ de rayon $r$.

            Soit $q\in\mathcal A$. Si $||x||\leqslant r$, alors $a+x \in K$, et donc $q(a+x)\leqslant 1$. Alors
            \begin{align*}
                \sqrt{q(x)} & = \sqrt{q(x+a-a)} \\
                &\leqslant \sqrt{q(x+a)} + \sqrt{q(-a)} \qquad \text{par Minkowski} \\
                &\leqslant 1+1 \\
                &\leqslant 2
            \end{align*}
            Donc $q(x) \leqslant 4$.

            Si $||x||\leqslant 1$, on a \begin{align*} |q(x)| & = q(x) \\ &= \frac{1}{r^2} q(rx) \\ &\leqslant \frac{4}{r^2}\end{align*}

            Donc $N(q) \leqslant \frac{4}{r^2}$, et donc $\mathcal A$ est borné.
        \end{itemize}
    \end{prooflem}

    Ainsi, $\fonction{\det}{\mathcal A}{\R^+}{q}{\det(q)}$ est continue, et donc elle est majorée, et atteint son maximum sur $\mathcal A$, en $q_0$.

    On a vu que $q_1 \in \mathcal A$, et $q_1 \in Q^{++}$, donc $\det(q_0) \geqslant \det(q_1) > 0.$

    Donc $q_0 \in Q^{++}$.

    Il reste maintenant à montrer l'unicité.
    
    \begin{lem}
        $\mathcal A$ est convexe.
    \end{lem}

    \begin{prooflem}
        Si $q$ et $q'$ sont dans $\mathcal A$, et $\lambda \in [0,1]$~:
        \begin{itemize}
            \item $\forall x \in \R^n,~ (\lambda q + (1-\lambda q')(x) = \lambda q(x) + (1-\lambda) q'(x) \geqslant 0$.
            \item $\forall x\in K, ~\lambda q + (1-\lambda) q')(x) \leqslant \lambda + 1-\lambda \leqslant 1$.
        \end{itemize}
    \end{prooflem}
    
    Supposons qu'il existe $q\in \mathcal A$ tel que $D(q) = D(q_0)$ et $q\not= q_0$.

    Notons $S$ et $S_0$ les matrices de $q$ et $q_0$ dans la base canonique de $\R^n$.

    Par convexité de $\mathcal A$, $\frac12 (q+q_0) \in \mathcal A$, et on a ~:
    \begin{align*}
        \det(\frac12 (q+q_0) & = \det(\frac12 (S+S_0) \\
        & > (\det S)^{1/2} (\det S)^{1/2} \qquad \text{par lemme~\ref{lem:convexite log}} \\
        & \geqslant \det S_0 \\
        & \geqslant \det q_0
    \end{align*}

    ce qui contredit la maximalité de $\det q_0$.

    \begin{lem}\label{lem:convexite log}
        Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal S_n^{++}(\R)$, $\alpha,\beta \in R^+$ tels que $\alpha + \beta =1$. Alors
        $$\det (\alpha A + \beta B) \geqslant (\det A)^\alpha (\det B)^\beta.$$
        De plus, si $A\not= B$, alors l'inégalité est stricte.
    \end{lem}

    \begin{prooflem}
        Par théorème de pseudo-réduction simultanée, il existe une matrice $P$ inversible et $D = \diag (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ avec les $\lambda_i\in\R^+$ telles que $A = {}^t P P$ et $B = {}^t PDP$.

        Donc 
        $$(\det A)^\alpha (\det B)^\beta = \det P^2 (\det D)^\beta \text{ et }$$
        $$ \det( \alpha A + \beta B) = \det P^2 \det(\alpha I_n + \beta D).$$

        On veut montrer que $\det(\alpha I_n + \beta D) \geqslant (\det D)^\beta$, ce qui équivaut à $\displaystyle{\prod_{i=1}^n (\alpha + \beta \lambda_i) \geqslant \left(\prod_{i=1}^n \lambda_i\right)^\beta}$, ou encore à $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \log(\alpha+\beta\lambda_i) \geqslant \beta \sum_{i=1}^n \log \lambda_i}.$

        Or pour tout $i$ de 1 à $n$~:
        \begin{align*}
            \log(\alpha+\beta\lambda_i) & \geqslant \alpha \log(1) + \beta\log(\lambda_i) \qquad \text{par concavité du $\log$} \\
            & \geqslant \beta \log(\lambda_i)
        \end{align*}

        On a le résultat en sommant sur $i$.

        Si $A\not= B$, un des $\lambda_i$ est différent de 1.

        Donc, si $\alpha \in (0,1)$, la stricte concavité de $\log$ donne une inégalité stricte.

    \end{prooflem}
\end{proof}



Référence~: Oraux X-ENS, Francinou, Gianella, Nicolas.

Leçons~: 123, 131, 137, 203, 219, 229


\end{document}
