\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{entete}
\author{Kevin \textsc{Quirin}}
\title{Théorème de Müntz}
\DeclareMathOperator{\gram}{Gram} %Déterminant de Gram
\date{}

\begin{document}
\maketitle

Leçons :
\begin{itemize}
    \item Déterminants
\end{itemize}

Prérequis~:
\begin{itemize}
    \item Distance à un sous-espace en fonction de déterminants de Gram
    \item Déterminants de Cauchy
    \item Théorème de Stone-Weierstra\ss
\end{itemize}

\begin{thm}
    Soit $(\mathcal C,||\cdot||_2)$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$, mnui de la norme de $L^2$. Soit $(\alpha_n)_{n\in\N}$ une suite strictement croissante de réels positifs.

    Alors on a l'équivalence~:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $V:=\vect\left(\left( x\mapsto x^{\alpha_n} \right)_{n\in\N}\right) $ est dense dans $\mathcal C$.
        \item La série $\displaystyle{\sum_{n\in\N} \frac1{\alpha_n}}$ diverge.
    \end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
    Par souci de clarté, on notera simplement $x^a$ la fonction $x\mapsto x^a$.

    Pour $m\in \R^+$, on note $\Delta_N(m)$ la distance de $x^m$ à $\vect\left(x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_N}\right)$. On a donc, avec les déterminants de Gram~:

    $$\Delta_N(m)^2 = \frac{\gram \left( x^m,x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_N} \right) }{\gram \left( x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_N} \right) }.$$

    Or, pour tous $a$ et $b$, on a $\langle x^a,x^b \rangle = \frac{1}{a+b+1}$. 

    Donc~:
    $$\gram \left( x^m,x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_N} \right) =
    \left|
    \begin{fracarray}{cccc} 
        \frac1{2m+1} & \frac1{m+\alpha_1+1} &\dots &\frac{1}{m+\alpha_N+1} \\
        \frac{1}{m+\alpha_1+1}& \frac{1}{2\alpha_1+1}& \dots & \frac{1}{\alpha_1+\alpha_N+1} \\
        \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
        \frac{1}{m+\alpha_N+1}& \frac{1}{\alpha_N+\alpha_1+1}& \dots & \frac{1}{2\alpha_N+1}
    \end{fracarray}
    \right|$$


    On a donc, d'après le calcul du déterminant de Cauchy~:

    $$\gram \left( x^m,x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_N} \right) = 
    \frac{\left( \prod_{i<j} (\alpha_i - \alpha_j)^2 \right) \left( \prod_i (\alpha_i -m)^2 \right)  }{(2m+1) \left( \prod_{i,j} (\alpha_i+\alpha_j+1) \right) \left( \prod_i (\alpha_i +m+1)^2 \right)  }$$

    et, de la meme façon~:

    $$\gram \left( x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_N} \right) =
    \frac{\prod_{i<j} (\alpha_i - \alpha_j)^2}{\prod_{i<j} (\alpha_i+\alpha_j+1)}.$$

    Finalement, on a l'expression de la distance cherchée~:

    $$\Delta_N(m) = \frac{1}{\sqrt{2m+1}} \prod_{i=1}^N \left| \frac{\alpha_i - m}{\alpha_i+m+1} \right|.$$

    Supposons que $V$ est dense dans $\mathcal C$. Alors, pour tout $m\in\R^+$, on a $\Delta_N(m)$ tend vers 0, \ie{} $\sum_n u_n$ diverge, avec $u_n = \log\left(\frac{\alpha_n-m}{\alpha_n+m+1}\right)$. Soit $m\in\R^+$.

    Deux cas se présentent~:
    \begin{itemize}
        \item Si $(\alpha_n)_n$ est majorée, $\sum \frac{1}{\alpha_n}$ diverge.
        \item Sinon, il existe un rang $N_0$ pour lequel $\alpha_n>m$ pour tout $n \geqslant N_0$.
        Alors 
        \begin{equation}\tag{$\star$}\label{star}
        u_n \sim - \frac{2m+1}{\alpha_n},
        \end{equation}
        et comme $\sum_n u_n$ diverge, $\sum \frac{1}{\alpha_n}$ diverge aussi.

    \end{itemize}

    Réciproquement, supposons que $\sum \frac{1}{\alpha_n}$ diverge. En montrant que $x^k \in \overline V$ pour tout entier $k$, on aura le résultat par théorème d'approximation de Stone-Weierstra\ss. Soit donc $k\in\N$.

    Si $\alpha_n \to \infty$, alors l'équivalent (\ref{star}) suffit pour conclure.

    Sinon~:
    \begin{align*}
        \prod_{i=1}^N \frac{|\alpha_i - m|}{\alpha_i+m+1} & \leqslant \prod_{i=1}^N \frac{\alpha_i + m}{\alpha_i+m+1} \\ 
        & = \prod_{i=1}^N \left( 1- \frac{1}{\alpha_i+m+1} \right) \\
        & \leqslant \left( 1- \frac{1}{\sup_i \alpha_i+m+1} \right)^n \\
        & \to 0
    \end{align*}
\end{proof}

Référence : Xavier Gourdon, Analyse, pp 286-287.

\begin{rmq}
    Il y a deux erreurs dans le Gourdon~:
    \begin{itemize}
        \item page 287, tout en haut~: $\langle x^a,x^b \rangle = \frac{1}{a+b\boxed{+1}}$.
        \item page 287, dans l'expression du déterminant, il manque un carré~:
    $$\gram \left( x^m,x^{\alpha_1},\ldots,x^{\alpha_N} \right) = 
    \frac{\left( \prod_{i<j} (\alpha_i - \alpha_j)^2 \right) \left( \prod_i (\alpha_i -m)^{\boxed{2}} \right)  }{(2m+1) \left( \prod_{i,j} (\alpha_i+\alpha_j+1) \right) \left( \prod_i (\alpha_i +m+1)^2 \right)  }$$
    \end{itemize}

\end{rmq}   




\end{document}
