\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{entete}
\author{Référence~: Serge \textsc{Francinou}, Hervé \textsc{Gianella}, Serge \textsc{Nicolas} \\ Oraux X-ENS, Algèbre 1}
\title{Dual de $\mathcal M_n(\K)$.}
\date{2011-2012}

\begin{document}
\maketitle

On cherche ici à déterminer les formes linéaires de $\mathcal M_n(\K)$.

\begin{thm}
    L'application
    $$\fonction{f}{\mathcal M_n(\K)}{\mathcal M_n(\K)^*}{A}{f_A~:~X \mapsto \tr(AX)}$$
    réalise un isomorphisme entre $\mathcal M_n(\K)$ et son dual.
\end{thm}

\begin{proof}
    On note $(E_{i,j})_{i,j}$ la base canonique de $\mathcal M_n(\K)$.

    $f$ est clairement linéaire, et les espaces sont de même dimension finie. Montrons donc l'injectivité de $f$.

    Soit $A$ telle que $f_A=0$. On a alors, pour tous $i_0,j_0$~:
    \begin{align*}
        \tr(AE_{i_0,j_0}) &= \tr \left( \sum_{i,j} a_{i,j} E_{i,j} E_{i_0,j_0} \right) \\
        &= \sum_{i=1}^n a_{i,i_0} \tr(E_{i,j_0}) ~\text{car } E_{i,j}E_{k,l} = \delta_{j,k}E_{i,l} \\
        &= a_{j_0,i_0} \\
        &= 0 ~\text{par hypothèse}
    \end{align*}
    Finalement, $A=0$.
\end{proof}

Essayons maintenant, parmi toutes ces formes linéaires, de caractériser la plus connue, la {\em trace}.

\begin{thm}
    Soit $g \in \mathcal M_n(\K)^*$ vérifiant $g(XY)=g(YX)$ pour toutes matrices $X$ et $Y$. Alors
    $$\exists \lambda \in \K,~\forall X \in \mathcal M_n(\K),~g(X) = \lambda \tr(X).$$
\end{thm}

\begin{proof}
    D'après le théorème précédent, il existe donc une matrice $A$ telle que $g(X) = \tr(AX)$.

    L'hypothèse nous donne donc
    $$\tr(AXY) = \tr(AYX).$$
    Or les propriétés de la trace nous permettent d'écrire~:
    $$\tr(AYX) = \tr(XAY).$$

    Finalement, on a $$\tr((AX-XA)Y) = 0,$$ et ce pour tout matrice $Y$.

    En réutilisant l'isomorphisme précédent, on a donc $AX=XA$, et comme il est connu que le centre de $\mathcal L(E)$ est l'ensemble des homothéties, $A$ en est donc une.
\end{proof}

Il est maintenant temps d'utiliser la correspondance forme linéaire $\leftrightarrow$ hyperplan.

\begin{thm}
    Si $n\geqslant 2$, alors tout hyperplan de $\mathcal M_n(\K)$ rencontre $GL_n(\K)$.
\end{thm}

\begin{proof}
    Soit donc $H$ un hyperplan de $\mathcal M_n(\K)$, et soit $\varphi$ la forme linéaire associée. Il existe donc une matrice $A$ telle que pour toute matrice $X$, on ait $\varphi(X) = \tr(AX)$.

    On cherche donc une matrice inversible, telle que $\tr(AX)$ soit nulle.

    Pour simplifier le problème, notons $r$ le rang de $A$. $A$ est donc équivalente à $J_r$~: $PAQ = J_r$, où $P$ et $Q$ sont inversibles. 

    On a donc, pour toute matrice $X$, $$\tr(AX) = \tr(PJ_rQX) = \tr(J_rQXP).$$

    Si on trouve $Y$ inversible telle que $\tr(J_rY)$ soit de trace nulle, on a gagné (on pose $X= Q^{-1} Y P^{-1}$ qui reste à la fois dans $GL_n(\K)$ et dans l'hyperplan $H$ (on vérifie $\tr(AX)=0$)).

    Pour cela, on peut par exemple poser
    $$Y =
    \left[
    \begin{array}{cccccc}
        0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \\
        1 & 0 & \ddots &        &   & 0 \\
        0 & 1 & 0      &        &   & \vdots \\
        \vdots && \ddots & \ddots && \vdots \\
        \vdots &&& \ddots & \ddots & \vdots \\
        0 & \cdots & \cdots & \cdots & 1 & 0
    \end{array}
    \right]
    $$
    et vérifier que $J_rY$ a sa diagonale nulle, donc sa trace aussi.
\end{proof}
\end{document}
