\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{entete}
\author{Référence~: Théorie des corps ; La règle et le compas. \\ Jean-Claude~\textsc{Carrega}}
\title{Le théorème de Gau\ss{} pour les polygones réguliers constructibles.}
\date{2011-2012}

\begin{document}
\maketitle

Prérequis~: Théorème de Wantzel.

On rappelle que le polygone régulier à $n$ côtés est dit {\em constructible} si l'angle de mesure $\frac{2\pi}{n}$ est constructible, \ie{} si $e^{\frac{2\pi}{n}}$ est constructible.

On notera dans la suite $P(n)$ "le" polygone régulier à $n$ côtés (on le suppose inscrit dans le cercle unité, avec un sommet coïncidant avec 1).

\begin{thm}[de Gau\ss, 1801]
    Les polygones réguliers constructibles sont ceux donc le nombre de côtés $n$ est de la forme $2^\alpha$ où $\alpha>1$, ou de la forme $2^\alpha p_1 \cdots p_r$, $\alpha,i\in\N$, et les $p_i$ sont des nombres premiers de Fermat distincts. 
\end{thm}

\begin{proof}
    On commence par montrer qu'on peut se ramener à des nombres premiers.

    \begin{lem}
        Si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, alors $P(mn)$ est constructible si et seulement si $P(n)$ et $P(m)$ sont constructibles.
    \end{lem}

    \begin{prooflem}
        Le sens direct est évident~:
        $$\frac{2\pi}{n} = m \frac{2\pi}{mn}\text{ et } \frac{2\pi}{m} = n \frac{2\pi}{mn},$$
        et il est facile de construit le multiple d'un angle constructible.

        Pour le sens réciproque, on utilise l'identité de Bezout~: 
        $$\exists \lambda,\mu \in \Z,~\lambda n + \mu m = 1.$$
        On en déduit
        $$\frac{2\pi}{mn} = \lambda \frac{2\pi}{n} + \mu \frac{2\pi}{m},$$
        et on sait construire les produits et sommes d'angles constructibles.
    \end{prooflem}
    Par récurrence, on en déduit
    \begin{lem}
        Si $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, alors $P(n)$ est constructible {\em si et seulement si} $P(p_1^{\alpha_1}),\ldots,P(p_k^{\alpha_k})$ sont constructibles.
    \end{lem}
    Il nous reste maintenant à caractériser les $p_i$ et $\alpha_i$ qui conviennent.

    \begin{lem}
        Soit $\alpha\in\N^*$. Alors~:
        \begin{enumerate}[(i)]
            \item $P(2^\alpha)$ est constructible.
            \item Si $p$ est un nombre premier impair, alors $P(p^\alpha)$ est constructible {\em si et seulement si} $\alpha=1$ et $p$ est un nombre de Fermat (\ie{} $p=1+2^{(2^\beta)}$).
        \end{enumerate}
    \end{lem}
    \begin{prooflem}
        On se fixe $\alpha\in\N^*$.
        \begin{enumerate}[(i)]
            \item On sait construire la bissectrice d'un angle, et donc ce point est évident.
            \item Soit $p$ premier impair. On pose $q=p^\alpha$.

            Supposons que $P(q)$ est constructible. Alors par définition, $e^{\frac{2\pi}{q}}$ est constructible, et donc par théorème de Wantzel~:
            $$\exists m\in\N,~\left[\Q \left( e^{\frac{2\pi}{q}} \right)  : \Q\right] = 2^m.$$
            On appelle $\omega = e^{\frac{2\pi}{q}}$.
            $\omega$ est une racine $q$-ième de l'unité, et donc son polynôme minimal est le $q$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_q$, qui est de degré $p^{\alpha-1}(p-1)$, et donc
            $$\left[ \Q(\omega) : \Q \right] = p^{\alpha-1}(p-1).$$
%            De plus, on a 
%            $$\omega + \omega^{-1} = 2 \cos \frac{2\pi}{q},$$
%            et donc $\cos \frac{2\pi}{q}\in\Q(\omega)$, de degré 2~:
%            $$\left[ \Q(\omega) : \Q\left( \cos\frac{2\pi}q \right)\right] = 2.$$
%
            On en déduit
            $$p^{\alpha-1}(p-1)=2^m,$$
            et comme $p$ est premier impair, on en déduit donc $\alpha=1$ et $p=2^{m}$.

            Il nous reste à montrer que $m+1$ est nécessairement une puissance de 2. On écrit $m+1 = \lambda 2^\beta$, avec $\lambda$ entier non nul impair et $\beta$ entier.

            On a donc $$p=1 + \left( 2^{\left( 2^\beta \right)}  \right)^\lambda.$$

            Comme $\lambda$ est impair, $X+1$ divise $X^\lambda+1$, et donc $1+2^{\left( 2^\beta \right) }$ divise $p$. Comme $p$ est premier, on a le résultat.

            Montrons maintenant le sens réciproque~: soit $p=1+2^n$ un nombre premier de Fermat.

            On pose $\omega = e^{2i\pi/p}$, et $K=\Q(\omega)$. $p$ étant premier, le degré de l'extension $K$ sur $\Q$ est $p-1$. Une base de $K$ est
            $$\{1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{p-2}\}.$$

            Soit $G$ le groupe des automorphismes de $K$ (ils laissent $\Q$ invariants). Si $g\in G$, alors, $g$ est entièrement déterminé par $g(\omega)$. Comme $g(\omega)$ reste une racine $p$-ième de l'unité, différente de 1, et réciproquement, toutes ces applications sont des automorphismes de $K$.

            $G$ est donc cyclique, d'ordre $p-1=2^n$. On peut ainsi se fixer un générateur de $G$, soit $g$.

            Posons pour $0 \leqslant i \leqslant n$ 
            $$K_i := \left\{z\in K~|~g^{2^i}(z)=z\right\}.$$
            On a donc une tour d'extensions~:
            $$K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n = K.$$
            Il est assez clair que $\Q \subseteq K_0$, et si $z\in K_0$, alors on peut l'écrire sous la forme
            $$z=\lambda_0 \omega + \lambda_1 g(\omega) +\cdots+\lambda_{p-2}g^{p-2}(\omega),$$ et en applicant $g$, on obtient $z=-\lambda_0 \in \Q$. 

            Donc $K_0=\Q$.

            Montrons que toutes les inclusions sont strictes, par exemple $K_O \subset K_1$. On pose
            $$z = \omega+g^2(\omega) + \cdots + g^{2^n-2}(\omega).$$
            Alors $g^2(z)=z$ car $g^{2^n}(\omega)=\omega$, mais $g(z) \not = z$ par unicité de l'écriture de $z$ dans la base $\{g^h(\omega)~|~0\leqslant h \leqslant p-2\}$.

            On a donc une tour d'extensions strictes
            $$\Q=K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_n=K.$$

            Comme $[K : \Q]=2^n$, on obtient
            $$[K_n : K_{n-1}]\cdots[K_1 : K_0]=2^n,$$
            et comme chaque facteur est différent de 1, on a nécessairement  pour tout $i$~:
            $$[K_{i+1} : K_i]=2.$$

            Par théorème de Wantzel, $\omega$ est donc bien constructible.



        \end{enumerate}
    \end{prooflem}
\end{proof}



\end{document}
