\documentclass[a4paper]{article}
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\author{Référence~: François \textsc{Rouvière},\\ Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation.}
\title{Lemme de Morse}
\date{2011-2012}

\begin{document}
\maketitle

\begin{thm}[Lemme de Morse]
    Soit $f~:~U\to \R$ une fonction de classe $\mathcal C^3$ sur un ouvert $U$ de $\R^n$ contenant l'origine. On suppose que 0 est un point critique quadratique non dégénéré de $f$, \ie{} $\diff f(0)=0$ et $\diff^2f(0)$ non dégénérée de signature $(p,n-p)$.

    Alors il existe un $\mathcal C ^1$-difféomorphisme $x\mapsto u = \varphi(x)$ entre deux voisinages de l'origine dans $\R^n$ tel que $\varphi(0)=0$ et
    $$f(x) = f(0) + u_1^2+\cdots+u_p^2 - u_{p+1}^2 - \cdots - u_n^2.$$
\end{thm}

\begin{proof}
    On écrit la formule de Taylor avec reste intégral au premier ordre pour $f$, pour $x\in V_0$ voisinage de 0~:
    $$f(x)=f(0)+{}^t\!Q(x)x,$$
    où $$Q(x) = \int_0^1 (1-t)\diff^2f(tx) \diff t.$$

    Par théorème de dérivation sous intégrale ($f$ est supposée de classe $\mathcal C^3$), $Q$ est de classe $\mathcal C^1$.

    Le théorème de réduction $\mathcal C^1$ des formes quadratiques nous donne l'existence d'une fonction $M~:~V_0\to GL_n(\R)$ de classe $\mathcal C^1$ telle que 
    $$Q(x) = {}^t\!M(x) Q(0) M(x).$$

    On en déduit, en notant $y=M(x)x$~:
    $$f(x) = f(0) + {}^t\! y Q(0) y.$$

    Or la signature de $Q(0)$ est la même que celle de $\diff^2 f(0)$~:~$(p,n-p)$. Donc par changement de base~:
    $$\exists A \in GL_n(\R),~Q(0) = {}^t\!A \diag(I_p,I_{n-p}) A.$$

    Finalement, 
    $$f(x) = f(0) + {}^t\!(Ay) Q(0) (Ay).$$

    Pour conclure, en posant $u=\varphi(x)=AM(x)x$, on a le résultat souhaité~:
    $$f(x) = f(0) + u_1^2+\cdots +u_p^2 - u_{p+1}^2 - \cdots -u_n^2.$$

    Montrons que $\varphi$ est un $\mathcal C^1$-difféomorphisme.

    Soit $\psi~:~x \to M(x) x$.

    On a alors $\diff \psi (0) = M(0)$, avec $M(0)$ inversible. Donc $\psi$ un est $\mathcal C^1$-difféomorphisme au voisinage de 0. Comme $A$ est aussi inversible, $\varphi$ l'est aussi.
\end{proof}

\begin{thm}[Réduction $\mathcal C^1$ des formes quadratiques]
    On note $S$ l'espace des matrices symétriques de taille $n\times n$. Pour $A_0\in S$ inversible fixé, on pose
    $$\fonction{\alpha}{\mathcal M_n(\R)}{S}{M}{{}^t\!MA_0M}.$$
    Alors il existe un voisinage $V$ de $A_0$ dans $S$, et une application $\ffonction{V}{GL_n(\R)}{A}{M}$ de classe $\mathcal C^1$ tel que $A = {}^t\!M A_0 M$ pour tout $A$ de $V$.
\end{thm}

\begin{proof}
    L'application $\alpha$ est polynomiale donc de classe $\mathcal C^1$. Calculons sa différentielle~:
    \begin{align*}
        \alpha(I+H)-\alpha(I) &= {}^t\!HA_0 + A_0H + {}^t\!HA_0H \\
        & = {}^t(A_0H) + A_0H + \mathcal O(\|H\|^2)
    \end{align*}
    Donc $$\diff \alpha (I) H = {}^t\! (A_0H) + A_0H.$$
    Le noyau de $\diff \alpha(I)$ est donc $\{H\in\mathcal M_n(\R)~|~A_0H\text{ antisymétrique} \}$, de dimension $n(n-1)/2$. Donc l'image est de dimension $n(n+1)/2 = \dim S$, et donc $\diff \alpha (I)$ est surjective.

    On note maintenant $\alpha$ la restriction de $\alpha$ à $F = \{H\in\mathcal M_n(\R)~|~A_0H \in S\}$.

    Alors $\alpha$ est toujours de classe $\mathcal C^1$, mais maintenant $\diff \alpha(I)$ est inversible.

    Par théorème d'inversion locale, on a un voisinage $U$ de $I$ dans $F$ (quitte à restreindre $U$, on le choisit inclu dans $GL_n(\R)$) avec $\alpha$ $\mathcal C^1$-difféomorphisme de $U$ sur $V=\alpha(U)$.

    Donc pour tout $A$ de $V$, il existe un unique $M\in U$ tel que $A=\alpha(M) = {}^t\!MA_0M$.
\end{proof}

\begin{rmq}
    Ce théorème nous dit que pour une forme quadratique non dégénérée, les formes quadratiques assez proche lui sont équivalentes.
\end{rmq}




\end{document}
