\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{entete}
\author{Référence~: M. \textsc{Alessandri}, \\ {\em Thèmes de géormétrie, groupes en situation géométrique}}
\title{Sous-groupes compacts de $GL_n(\R)$}
\DeclareMathOperator{\conv}{Conv}
\date{2011-2012}

\begin{document}
\maketitle

Dans la suite, $G$ sera un sous-groupe compact de $GL_n(\R)$. Le théorème à démontrer est~:

\begin{thm}
    Il existe un produit scalaire euclidien $(\cdot~|~\cdot)$ sur $\R^n$ de forme quadratique associée $q$, tel que $G$ soit inclu dans l'ellipso\"ide associé à $q$~:
    $$G \subseteq \mathcal O (q).$$
\end{thm}

\begin{proof}
    Soit $\mathcal V$ un espace vectoriel de dimension $n$.
    Commençons par montrer un lemme sur l'enveloppe convexe d'un compact~:
    \begin{lem}
        L'enveloppe convexe d'un compact de $\mathcal{V}$ est compacte.
    \end{lem}
    \begin{prooflem}
        Soit $K$ un compact de $\mathcal{V}$ non vide, et soit $\conv(K)$ son enveloppe convexe.
        On pose pour $n\in\N^*$~:
        $$\beta_n = \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i~ \left|~ \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \text{ et } \forall i,~(\lambda_i,x_i) \in \R^+ \times K \right. \right\}.$$

        Le lemme de Caratheodory nous donne $\conv(K) = \beta_{n+1}$.

        On pose $\Lambda_{n+1} = \left\{ \left( \lambda_i \right) _{1\leqslant i \leqslant n} \in \R^{n+1} ~\left|~ \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i = 1 \right. \right\}$, et
        $$\fonction{P}{\Lambda_{n+1}\times K^{n+1}}{\conv(K)}{(\lambda,x)}{\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i}.$$

        $P$ est polynomiale donc continue, et le lemme de Carathéodory nous montre qu'elle est surjective. $\Lambda_{n+1}$ est compact dans $\R^{n+1}$, et donc $\Lambda_{n+1}\times K^{n+1}$ est compact aussi.

        Donc $\conv(K)$ est l'image d'un compact par une application continue, donc est compact.
    \end{prooflem}

    Soit $K$ un compact convexe de $\mathcal{V}$, et soit $V$ dans $GL_n(\R)$ tel que $K$ soit stable par $V$.

    Alors~:
    \begin{lem}
        $V$ admet un point fixe dans $K$.
    \end{lem}
    \begin{prooflem}
        On choisit un $x_0$ dans $K$, et on pose  
        $$x_k = \frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^k V^i (x_0).$$

        $K$ est stable par $V$, donc $x_k \in K$ pour tout $k\in\N$.
        Comme $K$ est compact, on peut donc supposer que $x_k$ converge, à extraction près, vers un élément $x \in K$.
        On a donc 
        \begin{equation*}
            Vx_k  = x_k + \underbrace{\frac{1}{k+1} (V^{k+1}x_0 - x_0)}_{:=\varepsilon_k}.
        \end{equation*}

        $K$ est compact donc borné, et donc $\varepsilon_k$ tend vers 0 avec $k$.

        Donc, en passant à la limite, on a $Vx = x$.
    \end{prooflem}

    Soit maintenant $\mathcal G$ un sous-groupe compact de $GL(\mathcal V)$.
    On pose, pour tout $x$ de $\mathcal{V}$, $\nu(x) = \max_{U\in \mathcal{G}} \|Ux\|$, où $\|\cdot\|$ est une norme euclidienne sur $\mathcal{V}$. Alors

    \begin{lem}
        $\nu$ est une norme $\mathcal{G}$-invariante, \ie{} si $U\in \mathcal{G}$, alors $\nu(Ux) = \nu(x)$.
    \end{lem}
    \begin{prooflem}
        $\nu$ est bien définie par compacité, est $\mathcal{G}$-invariante car $\mathcal{G}$ est un groupe, et est bien homogène et définie positive. Montrons l'inégalité triangulaire~:
        Soient $x$ et $y$ dans $\mathcal{V}$, et soit $u_0$ dans $\mathcal{G}$ tel que $\nu(x+y) = N(u_0(x+y))$.
        Alors
        \begin{align*}
            \nu(x+y) & = \|u_0(x)+u_0(y)\|\\
            & \leqslant \|u_0(x)\| + \|u_0(y)\| \\
            & \leqslant \nu(x) + \nu(y)
        \end{align*}
        Donc $\nu$ est bien une norme $\mathcal{G}$-invariante sur $\mathcal{V}$.

        On remarque que le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire équivaut à celui de 
        $\|\cdot\|$, \ie{} la dépendance positive des deux vecteurs.
    \end{prooflem}

    On peut maintenant établir~:
    \begin{lem}
        On suppose que tous les éléments de $\mathcal{G}$ laissent $K$ stable. Alors il existe un point fixe dans $K$ commun à tous les éléments de $\mathcal{G}$.
    \end{lem}

    \begin{prooflem}
        Pour $U\in \mathcal{G}$, on pose $F_U = \{x\in K ~|~ Ux = x\}$. On cherche un élement dans $\displaystyle{\bigcap_{U\in \mathcal{G}} F_U}$.

        $(F_U)$ est une famille de fermés dans le compact $K$, il suffit de montrer que les intersections finies de $F_U$ sont non vides~:
        $$\forall p\in \N^*,~\forall U_1,\ldots,U_p \in \mathcal{G},~\bigcap_{i=1}^p F_{U_K}.$$

        Soient donc $p\in \N^*$ et $U_1,\ldots,U_p \in \mathcal{G}$. On pose $V = \frac1p \sum_{i=1}^p U_i$. $K$ est convexe, et donc est laissé stable par $V$, et donc $V$ admet un point fixe $x$ dans $K$. On a alors
        \begin{align*}
            \nu(x) & = \nu(Vx) \\
            & \leqslant \frac1p \sum_{i=1}^p \nu(U_kx) \\
            & \leqslant \nu(x)
        \end{align*}

        D'après le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire, tous les $U_kx$ sont positivements liés, et valent m\^eme $x$.

        Donc l'intersection finie est non vide, d'où le lemme.
    \end{prooflem}



Passons maintenant à la preuve~:

On considère l'application
$$\fonction{\rho}{G}{GL(\mathcal S_n)}{X}{S \mapsto {}^t\!X S X}.$$

$\rho$ est alors un morphisme de groupes, continu car polynomial en les coefficients de la matrice.

$\mathcal G = \rho(G)$ est donc un sous groupe compact de $GL(\mathcal S_n)$ (par continuité de $\rho$ et compacité de $G$).

$G$ est compact, donc $\{{}^t\!M M~|~M \in G\}$ est compact non vide dans le convexe $\mathcal S_n^{++}$, et donc son enveloppe convexe $K$ aussi.

$K$ est clairement $\mathcal G$-stable, et donc il existe un élément $S \in K$ fixe par tous les éléments de $\mathcal G$.

Donc $S \in \mathcal S_n^{++}$, et $\forall A\in G,~{}^t\!A S A = S$. 

Donc, en notant $(\cdot~|~\cdot)$ le produit scalaire sur $\R^n$ défini par $(x~|~y) = \langle x,Sy \rangle$ et $q$ la forme quadratique associée, on a pour $M \in G$~:

\begin{align*}
    \forall x \in \R^n, ~ q(Mx) & = (Mx~|~SMx) \\
    & = (x~|~{}^t\!MSMx) \\
    & = (x~|~Sx) \\
    & = q(x)
\end{align*}

Donc $M \in \mathcal O(q)$.

Donc $G \subseteq \mathcal O(q)$.
\end{proof}

\end{document}
