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\newtheorem*{theorem}{Théorème}

\title{Équation de Bessel}
\author{Grégory Boil \and Tristan Haugomat}
\date{Année 2013-2014}


\begin{document}
\maketitle

On s'intéresse à l'équation de Bessel
\begin{align}\label{EqBes}
xy''+y'+xy = 0
\end{align}
On se propose de montrer le théorème
\begin{theorem}
L'ensemble des solutions $\mathcal{C}^2$ de \eqref{EqBes} au voisinage de $0$ est l'espace vectoriel engendré par la fonction analytique
\[
J_0(x) = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{4^n(n!)^2}x^{2n} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(x\sin\theta)d\theta .
\]
De plus toute solution de \eqref{EqBes} sur un intervalle de la forme $]-a,0[$ ou $]0,a[$ avec $a>0$ et linéairement indépendante de $J_0$ n'est pas bornée en $0$.
\end{theorem}

\section*{Solutions analytiques au voisinage de $0$}
Soit $f = \sum_{n\geq 0}a_nx^n\in\R[[X]]$ une série formelle sur $\R$ ($a_n := 0$ pour $n < 0$), alors $f$ est solution de \eqref{EqBes} si et seulement si
\begin{align*}\begin{array}{ll}
0
& = xf''+f'+fy
\displaystyle = \sum_{n\geq 0}n(n+1)a_{n+1}x^n + \sum_{n\geq 0}(n+1)a_{n+1}x^n + \sum_{n\geq 0}a_{n-1}x^n
\\  & \displaystyle = \sum_{n\geq 0}\left((n+1)^2a_{n+1} + a_{n-1}\right)x^n .
\end{array}\end{align*}
Ainsi $f$ est solution de \eqref{EqBes} si et seulement si
\begin{align*}\left\{\begin{array}{l}
a_1 = 0 \\
\displaystyle a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)^2} \quad \forall n\in\N ,
\end{array} \right. \end{align*}
Et l'ensemble des séries formelles solutions de \eqref{EqBes} est l'espace vectoriel engendré par
\[
J_0 := \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{4^n(n!)^2}x^{2n} .
\]
La solution $J_0$ a un rayon de convergence infini, ainsi ce sont aussi les solutions analytiques de \eqref{EqBes} au voisinage de $0$, en effet
\[
\frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+1}((n+1)!)^2}\times \frac{4^n(n!)^2}{(-1)^n} = \frac{-1}{4(n+1)^2} \cv{n\to\infty} 0 .
\]
De plus elles sont définie sur tout $\R$.

\subsection*{Études des autres solutions en $0^+$ et $0^-$}
Soit $f$ une solution de \eqref{EqBes} définie sur un intervalle de la forme $]0,a[$ ($a>0$), linéairement indépendante de $J_0$. On a alors l'équation matricielle sur $]0,a[$~: $Y^\prime = AY$ avec
\begin{align*}
Y := \left(\begin{array}{cc}
J_0 & f \\
J_0^\prime & f^\prime
\end{array}\right) ,
\quad  A := \left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & -\frac{1}{x}
\end{array}\right) .
\end{align*}
On regarde alors l'équation vérifié par le wronskien  $w:= \det(Y)$~: en utilisant que pour la norme de Hilbert-Schmidt $\nabla\det = \com$ et que $M(\com(M))^T = \det(M)$ pour toute matrice $M$, on a~:
\[\begin{array}{ll}
\displaystyle w^\prime & = \left(\det(Y)\right)^\prime = \diff \det (Y)Y^\prime = \trace\left(Y^\prime (\com (Y))^T\right) = \trace\left(AY (\com (Y))^T\right)\\
\displaystyle & \displaystyle = \trace\left(\det(Y)A\right) = \trace(A)w = -\frac{1}{x}w .
\end{array}\]
Ainsi $w(x) = \frac{\lambda}{x}$ avec $\lambda\in\R$, $\lambda \not = 0$ car f est indépendante de $J_0$. On a donc
\[
\frac{\lambda}{x} = w(x) = J_0(x)f^\prime(x) - J_0^\prime(x)f(x) .
\]
Supposons $f$ est borné, puisque $J_0(0) = 1$ et $J_0^\prime(0) = 0$ on a $f^\prime\sim_{0^+}\frac{\lambda}{x}$. Puisque $\frac{\lambda}{x}$ est d'intégrale divergente en $0^+$ et est de signe constant, on en déduit que
\[
f(x) = f(1) + \int_1^xf^\prime(t)dt\sim_{0^+}\int_1^x\frac{\lambda}{t}dt \sim_{0^+} \lambda\ln(x) .
\]
Ceci est contradictoire, donc $f$ n'est pas borné au voisinage de $0^+$. Pour obtenir le résultat en $0^-$ on observe que si $f$ est solution de \eqref{EqBes} en $0^-$, alors $f(-x)$ est solution en $0^+$ et que $J_0$ est paire.

\subsection*{Une autre expression pour $J_0$}
Soit
\[
f(x):=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(x\sin\theta)d\theta ,
\]
Par dérivation sous l'intégrale (les dérivés sont bornés), $f$ est $\mathcal{C}^2$ et
\begin{align*}\begin{array}{ll}
xf''(x)+f'(x)+xf(x)
& \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\left[-x\sin^2\theta\cos(x\sin\theta) - \sin\theta\sin(x\sin\theta) + x\cos(x\sin\theta)\right] d\theta \\
& \displaystyle = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\left[x\cos^2\theta\cos(x\sin\theta) - \sin\theta\sin(x\sin\theta)\right] d\theta \\
& \displaystyle = \frac{1}{\pi}\left[\cos\theta\sin(x\sin\theta)\right]_{\theta = 0}^\pi = 0 \\
\end{array}\end{align*}
Ainsi $f$ est solution de \eqref{EqBes} sur $\R$, ainsi par ce qui précède $f$ est colinéaire à $J_0$, enfin puisque $J_0(0) = f(0) = 1$ on en déduit
\[
J_0(x) = f(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(x\sin\theta)d\theta .
\]


\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{FGN12}
Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas,
\emph{Oraux X-ENS, Analyse 4},
Cassini,
2012.	
\end{thebibliography}

\end{document}