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\newtheorem*{theoreme}{Théorème}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand*{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand*{\D}{\mathrm{D}}

\author{Lecons 159, 215, 217, 219 \\ Salim Rostam}
\title{Théorème des extrema liés}

\interfootnotelinepenalty=10000 %taille maximale des notes de bas de page (pour ne pas qu'elles se répartissent sur plusieurs pages)

\begin{document}
\maketitle

\section{Théorème des extrema liés}

Soient $n, p \in \mathbb{N}^*$, soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, soit $f$ une application différentiable de $U \to \mathbb{R}$ et soient $g_1, \dots, g_p \in \mathcal{C}^1(U, \mathbb{R})$. On suppose que $a \in U$ est tel que $f(a)$ est un extremum de $f$ sur l'ensemble $V := \{x \in U : \forall\, 1 \leq i \leq p, g_i(x) = 0\}$, et on suppose de plus que la famille $(\D g_i(a))_{1 \leq i \leq p}$ est libre.

\begin{theoreme}[extrema liés]
Sous ces hypothèses, il existe (des uniques) $\lambda_1, \dots, \lambda_p \in \mathbb{R}$ tels que $\D f(a) = \sum_{i = 1}^p \lambda_i \D g_i(a)$.
\end{theoreme}

\begin{remarque}
L'unicité découle du fait que la famille $(\D g_i(a))_{1 \leq i \leq p}$ est libre.
\end{remarque}

\begin{remarque}
On parle d'extrema \emph{libres} quand $V = U$ tout entier ; on sait que dans ce cas on a $\D f(a) = 0$. Remarquons que le théorème précédent reste vrai : il suffit de prendre $\lambda_i = 0$ $\forall i$.
\end{remarque}

\subsection{La partie $V$ est lisse en $a$}

Par définition, on a $V = \{ g_i = 0\}_{1 \leq i \leq p}$ ; comme par hypothèse les $g_i$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ et que la famille $(\D g_i(a))_{1 \leq i \leq p}$ est libre, par le théorème des sous-variétés on en déduit que $V$ est lisse en $a$ (de dimension $n - p$).

\subsection{Réécriture des hypothèses}

Soit $\gamma \in \mathcal{C}^1 (]-1, 1[ , V)$ un chemin tracé sur $V$ tel que $\gamma(0) = a$. Par hypothèse sur $a$, comme $\gamma$ est à valeurs dans $V$,  l'application $f \circ \gamma$ possède un extremum en $0$. Comme cette dernière application est différentiable, on a $(f \circ \gamma)'(0) = 0$ donc par la formule de dérivation d'une composée on en déduit que $\D f(\gamma(0)). \gamma'(0)$ \textit{i.e.}
\[
\D f(a) .\gamma'(0) = 0
\]

Par définition du plan tangent à $V$ en $a$ on a donc $\ker \D f(a) \supseteq \T_a V$.

\subsection{Un peu de dualité}

Comme $V = \{ g_i = 0\}_{1 \leq i \leq p}$ et que la famille $(\D g_i(a))_{1 \leq i \leq p}$ est libre, on en déduit que $\T_a V = \cap_{i = 1}^p \ker \D g_i(a)$. Ainsi, par ce qui précède on a :
\[
\ker \D f(a) \supseteq \bigcap_{i = 1}^p \ker \D g_i(a)
\]
En passant à l'orthogonal, on obtient :
\begin{equation}
\label{eq:inclusion_ker}
(\ker \D f(a))^{\perp} \subseteq \sum_{i = 1}^p (\ker \D g_i(a))^{\perp}
\end{equation}

Or, si $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$, on a par définition $E^{\perp} = \{u \in (\mathbb{R}^n)^* : \forall x \in E, u(x) = 0\}$ ; ainsi, si $u \in (\mathbb{R}^n)^*$ alors $u \in (\ker u)^{\perp}$ et par égalité des dimensions on a $(\ker u)^{\perp} = \mathrm{vect}(u)$.

Ainsi, de l'équation $(\ref{eq:inclusion_ker})$ on en déduit que $\D f(a) \in \mathrm{vect}(\D g_i(a))_{1 \leq i \leq p}$ et c'est exactement ce que l'on voulait montrer !

\begin{remarque}
Pour ceux qui ne sont pas chauds pour utiliser l'orthogonalité, voici une autre rédaction : comme $(\D g_i(a))_{1 \leq i \leq p}$ est une famille libre de $(\mathbb{R}^n)^*$, on peut la compléter en une base ; on note $e_i^*$ les autres vecteurs de la base que l'on obtient. Soit $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base antéduale ; on a $\D f(a) = \sum_{i = 1}^p \lambda_i \D g_i(a) + \sum_{i = p + 1}^n \lambda_i e_i^*$ donc en évaluant en un $e_j$ pour $j > p$ on obtient $\D f(a).e_j = \lambda_j$. Or, par hypothèse $\ker \D f(a) \supseteq \cap_{i = 1}^p \ker \D g_i(a) \ni e_j$ donc on obtient $\lambda_j = 0$ ; c'est gagné !
\end{remarque}


\section{Application à la réduction des endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien}

On va montrer le théorème suivant.

\begin{theoreme}
Soit $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ un endomorphisme autoadjoint. Alors $u$ est diagonalisable en base orthonormée, et on a les égalités suivantes :
\begin{gather*}
\min_{\|x\|=1} \langle u(x), x \rangle = \min \mathrm{Sp}(u) \\
\max_{\|x\|=1} \langle u(x), x \rangle = \max \mathrm{Sp}(u)
\end{gather*}
\end{theoreme}

\subsection{Existence d'une valeur propre (réelle)}
\label{subsection:existence_valeur_propre}

La fonction $f: x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ étant continue sur le compact $\{\| \cdot \| = 1\}$, on en déduit que $f$ est bornée et atteint ses bornes sur ce compact, ce qui justifie les $\min$ et $\max$ précédents ; soit  $a$ qui réalise le maximum.

Posons $g : x \mapsto \|x\|^2$ ; l'application $g$ est différentiable et $\D g(x).h = 2\langle x, h\rangle$ donc $\nabla g(x) = 2x$. Ainsi, si $x \neq 0$ (en particulier si $\|x\| = 1$ ce qui est le cas dans notre problème) alors $(\D g(x))$ est une famille libre. On peut donc appliquer le théorème des extrema liés !

On a $\D f(x).h = \langle u(h), x \rangle + \langle u(x), h \rangle$ donc comme $u$ est autoadjoint on a $\nabla f(x) = 2u(x)$. Ainsi, par le théorème des extrema liés on a l'existence de $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que :
\[
u(a) = \lambda a
\]
autrement dit, comme $a$ est non nul (car de norme $1$ !), le réel $\lambda$ est valeur propre de $u$. Remarquons que $\langle u(a), a\rangle = \lambda \langle a, a \rangle = \lambda$ donc on a $\lambda = \max_{\|x\| = 1} \langle u(x), x\rangle$.

\subsection{Récurrence}

On vient de voir que $u$ possède une valeur propre $\lambda$ ; en raisonnant par récurrence, on conclut que $u$ est orthodiagonalisable, l'argument étant que l'endomorphisme induit par $u$ sur $\ker(u - \lambda)^{\perp}$ reste autoadjoint (ce sous-espace est stable par $u^* = u$ donc on a bien le droit de considérer l'endomorphisme induit). En particulier, le spectre de $u$ est réel.

\subsection{Bornes du spectre}

D'après ce qui a été fait dans la section $\ref{subsection:existence_valeur_propre}$, on sait déjà que l'on a $\max_{\|x\| = 1} \langle u(x), x \rangle = \lambda \leq \max \mathrm{Sp}(u)$. Or, si $\mu \in \mathrm{Sp}(u)$ alors si $x$ est un vecteur propre unitaire associé on a $\langle u(x), x \rangle = \mu$, donc on en déduit que $\mu \leq \lambda$. Cela étant valable $\forall \mu \in \mathrm{Sp}(u)$, on en déduit que $\max \mathrm{Sp}(u) \leq \lambda  = \max_{\|x\| = 1} \langle u(x), x \rangle$. Comme on avait déjà l'inégalité dans l'autre sens, on obtient bien le résultat annoncé (le résultat pour le minimum étant bien sûr très différent) !

\begin{remarque}
À partir du théorème d'orthodiagonalisation, on obtient en fait directement ces égalités en décomposant $x$ sur une base orthonormale $(e_i)$ de vecteurs propres ; on a alors $\langle u(x), x \rangle = \sum \lambda_i x_i^2 \leq (\max \lambda_i) \sum x_i^2 = \max \lambda_i$ et on a l'égalité pour $x$ un vecteur propre bien choisi.
\end{remarque}


\end{document}