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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newcommand{\scal}[2]{\left \langle #1,\, #2 \right \rangle}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\date{}
\title{Fonctions lipschitziennes}
\begin{document}
 \maketitle

Je ne connais pas de référence bibliographique pour ce développement\dots{}
\begin{thm}
 une fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R$ est lipschitzienne si et seulement s'il existe une fonction $g \in L^\infty$ telle que pour tout $x \in \mathbb R$, $\displaystyle{f(x)=f(0) + \int_0^x g(x) dx}$.
\end{thm}
\begin{proof}
 La condition suffisante est claire. \\
On suppose donc $f$ $L-$lipschitzienne et on considère la dérivée $f'$ de $f$ au sens des distributions. Montrons que $f'$ se prolonge en une forme linéaire $T$ sur $L^1$. On peut écrire que $$\scal{T,\varphi} = \lim_{h\to 0} \int_{\mathbb R} f(x) \frac{\varphi(x+h)-\varphi(x)}{h} dx = \lim_{h\to 0}\int_{\mathbb R} \varphi(x) \frac{f(x-h)-f(x)}{h} dx $$
par convergence dominée, découpage de l'intégrale et changement de variables affines. De fait, $\vert \scal{T}{\varphi} \vert \leqslant L \Vert \varphi\Vert_1$ et $T$ est une forme linéaire continue pour la norme 1. Comme $\mathcal D(\mathbb R)$ est dense dans $L^1$, on peut prolonger $T$ à $L^1$ tout entier, par une forme linéaire de même norme. \\

Remarquons alors que $L^2([-n,n]) \hookrightarrow L^1([-n,n]) \hookrightarrow L^1(\mathbb R)$; on peut donc restreindre $T$ à ce premier espace. Par théorème de représentation de Riesz, il existe $g_n \in L^2$ tel que $\forall \varphi \in L^2([-n,n]),\; \scal{T}{\varphi} = \int_{-n}^n g_n \varphi$. Par unicité dans le théorème de Riesz et par l'injection continue $L^2([-n,n]) \hookrightarrow L^2([-n-n,n+1])$, $g_{n+1}$ et $g_n$ coïncident sur $[-n,n]$. On peut alors définir une fonction $g$ presque partout sur $\mathbb R$ en associant, à $x \in [-n,n]$, $g_n(x)$.

Montrons alors que $g\in L^\infty.$ Si ce n'était pas le cas, alors l'ensemble $A=\{x\; \mid \; |g(x)|<L\}$ serait de mesure non nulle. Comme $A$ est limite croissante des $A_n=A\cap^[-n,n]$, l'un serait de mesure non nulle. Soit $u$ à valeurs dans $\{-1,1\}$ telle que $|g|=ug$ (elle est mesurable), posons $\varphi=1_{A_n} u$. Alors, $\scal{T}{\varphi}=\int_{-n}^n |g| > L\lambda(A_n)$, c'est-à-dire que $|\scal{T}{\varphi}| > L \Vert \varphi \Vert_1$, ce qui empêche $L$ d'être la norme de $T$. Ainsi, $g \in L^\infty.$

Enfin, posons $G(x)=\int_0^x g(t) dt.$ Comme $g \in L^1_{loc}$, $G$ est continue et pour $\varphi \in \mathcal D(\mathbb R)$, on a
$$-\int_{\mathbb R} \varphi'(x) G(x) dx= \int_{-\infty}^0 \int_x^0 \varphi'(x) g(t) dt dx-  \int_0^\infty \int_0^x \varphi'(x)  g(t) dt dx. $$
Par théorème de Fubini (il est clair que l'intégrale double est convergente puisque $g$ est bornée), on obtient
$$-\int_{\mathbb R} \varphi'(x) G(x) dx = \int_{-\infty}^0 \int_{-\infty}^t g(t) \varphi'(x) dx dt - \int_0^\infty \int_t^\infty g(t) \varphi'(x) dx dt.$$
Ainsi, puisque $\varphi$ est à support compact, donc incluse dans un $L^2([-n,n]$, on obtient
$$-\int_{\mathbb R} \varphi'(x) G(x) dx =\int_{-\infty}^\infty  g(t) \varphi(t) = \scal{T}{\varphi}.$$
C'est exactement dire que $(f-G)'=0$ au sens des distributions. Or, ceci implique que $f-G = C^{te}$. Comme $f$ et $G$ sont continue, cette constante vaut $f(0)-G(0)=f(0),$ ce qu'il fallait montrer.

\end{proof}
\paragraph{Remarque.} La démonstration est ici faite dans $\mathscr D'(\mathbb R)$. Néanmoins, elle fonctionne au sens des distributions tempérées, en utilisant la densité (au sens de la topologie de $\mathscr S$) des fonction $\mathscr C^\infty_c$. Remarquer pour cela qu'une fonction lipschitzienne, grâce à sa croissance lente, définit une distribution tempérée.
\end{document}