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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
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\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

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\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\begin{document}

\title{Théorème de Frobenius-Zolotarev}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\maketitle
\begin{thm}
Soit $p$ un nombre premier $\ge 3$ et $n\in\NN^*$.
Alors pour tout $u\in GL_n(\FF_p)$, on a :
\[\varepsilon(u)=\left( \frac{\det(u)}{p} \right)\]

où $\left( \frac{a}{p} \right)$ est le symbole de Legendre :
\[\left( \frac{a}{p} \right)=\left\{
\begin{array}{l}
0 \text{ si } a\equiv 0 \text{ mod } p,\\
1 \text{ si $a$ est un carré modulo $p$ (un résidu quadratique)},\\
-1 \text{ sinon}
\end{array}
\right.
\]

et où $\varepsilon(u)$ est la signature de $u$ en tant que permutation sur l'ensemble fini $\mathbb{F}_p^n$.
\end{thm}

\begin{proof}
Il s'agit de montrer que la signature se factorise de la façon suivante : $\varepsilon=\left(\frac\cdot p\right)\circ\det$. On commence par énoncer un premier lemme.

\begin{lemme}
Soit $k$ un corps, $M$ un groupe abélien et $n\in\NN^*$. On suppose $k\neq \mathbb{F}_2$ ou $n\neq 2$. Alors tout morphisme de groupe $\varphi : GL_n(k) \to M$ se factorise par le déterminant,\\
i.e. il existe un unique morphisme de groupe $\delta : k^\times \to M$ tel que $\varphi=\delta \circ \det$.
\end{lemme}
\begin{proof}
D'une part, puisque $k\neq \mathbb{F}_2$ ou $n\neq 2$, on a $D(GL_n(k))=SL_n(k)$ (voir détails en fin de document).

D'autre part, pour $x,y\in GL_n(k), \varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]=e$ car M est abélien.\\
$D(GL_n(k))$ est engendré par les commutateurs donc $D(GL_n(k)) \subseteq \ker \varphi$.

Donc $\varphi : GL_n(k)\to M$ se factorise en un unique morphisme \mbox{$\overline\varphi : GL_n(k)/SL_n(k)\to M$} :
\[\xymatrix{
GL_n(k)\ar[r]^\varphi\ar@{->>}[d]_\pi& M\\
GL_n(k)/SL_n(k)\ar@{.>}[ru]_{\overline\varphi}&}
\]

Comme $\det$ est un morphisme surjectif de $GL_n(k)$ dans $k^\times$ dont le noyau est $SL_n(k)$, on obtient le diagramme commutatif suivant :
\[
\xymatrix{
k^\times & GL_n(k) \ar@{->>}[l]_\det \ar@{->>}[d]_\pi\\
& GL_n(k)/SL_n(k)\ar@{.>}[lu]^{\overline\det}
}
\]
avec $\overline\det$ un isomorphisme. Alors :
\[\varphi=\overline\varphi \circ (\overline\det)^{-1} \circ \overline\det \circ \pi=\delta\circ \det \text{ avec } \delta=\overline\varphi \circ (\overline\det)^{-1}\]

\[
\xymatrix{
k^\times\ar@/^2pc/[rr]^\delta& GL_n(k) \ar[r]^\varphi \ar@{->>}[d]_\pi \ar@{->>}[l]_\det & M\\
& GL_n(k)/SL_n(k)\ar[lu]^{\overline\det}\ar[ru]_{\overline\varphi} &
}
\]

La surjectivité de $\det$ assure alors l'unicité du morphisme $\delta$ vérifiant $\delta~\circ~\det~=~\varphi$.
\end{proof}

On a, dans le cadre du théorème, $\varepsilon:GL_n(\FF_p)\to\{-1,1\}$ avec $\{-1,1\}$ abélien donc, par le lemme, il existe un unique morphisme $\delta:\FF_p^\times\to\{-1,1\}$ tel que $\varepsilon=\delta\circ\det$. Il s'agit de montrer que $\delta$ est le symbole de Legendre. Pour cela, nous allons montrer que le symbole de Legendre est l'unique morphisme non trivial de $\mathbb{F}_p^\times$ dans $\{-1,1\}$, puis que $\varepsilon:GL_n(\FF_p)\to\{-1,1\}$ n'est pas trivial.

Le symbole de Legendre est bien non trivial car $x^2=(-x)^2$ donc :
\begin{align*}
\mathbb{F}_p^\times &\to \mathbb{F}_p^\times\\
x &\mapsto x^2
\end{align*}
n'est pas injective ($p\ge 3$) donc n'est pas surjective.

Si $\alpha : \mathbb{F}_p^\times\to \{-1,1\}$ est un morphisme non trivial, $\ker \alpha$ est un sous-groupe d'indice $2$ de $\mathbb{F}_p^\times$. Or $\mathbb{F}_p^\times$ est un groupe cyclique de cardinal pair donc ne possède qu'un seul sous-groupe $H$ d'indice $2$.\\
On a ainsi la partition $\mathbb{F}_p^\times=H\sqcup xH$ où $x\notin H$ avec :
\[
\alpha(y)=\left\{
\begin{array}{l}
1 \text{ si } y\in H\\
-1 \text{ si } y\in xH
\end{array}
\right.
\]
Ainsi, $\alpha$ est entièrement déterminé donc est unique, c'est le morphisme de Legendre.

Montrons maintenant que $\varepsilon$ n'est pas trivial.

Il existe une extension $\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p$ de degré $n$ (à savoir $\mathbb{F}_{p^n}$). Vus comme $\mathbb{F}_p$-espaces vectoriels, $\FF_p^n$ et $\mathbb{F}_q$ sont isomorphes. Il suffit donc de trouver une bijection $\mathbb{F}_p$-linéaire de $\mathbb{F}_q$ de signature $-1$. Or $\mathbb{F}_q^\times$ est cyclique d'ordre $q-1$. Soit $g$ un générateur de ce groupe. La bijection $\FF_p$-linéaire $x\mapsto gx$ de $\mathbb{F}_q$ agit comme le cycle $(g,g^2,\ldots,g^{q-1})$ de longueur $q-1$. Sa signature est donc $(-1)^q=-1$ car $q=p^n$ est impair.

Finalement, $\varepsilon$ n'est pas trivial donc $\delta\circ\det$ non plus, donc $\delta$ n'est pas trivial et il s'agit donc du symbole de Legendre.
\end{proof}

\subsection*{Détails supplémentaires}
\begin{thm}
$D(GL_n(k))=SL_n(k)$ pour $n\neq 2$ ou $k\neq \mathbb{F}_2$.
\end{thm}

\begin{proof}
Pour $u,v\in GL_n(k)$, $[u,v]\in SL_n(k)$, donc :
\[D(GL_n(k))\subseteq SL_n(k)\]

Pour montrer l'inclusion inverse, il suffit de montrer que toute transvection est un commutateur ($n\ge 2$). Comme toutes les transvections sont conjuguées, il suffit de le montrer pour l'une d'elles.

\begin{itemize}
\item Si $n\ge 3$, alors :
\[I_n+E_{1,2}=[I_n+E_{1,3},I_n+E_{3,2}]\]
\item Si la caractéristique de $k$ est différente de 2, alors :
\[I_n+E_{1,2}=[I_n+E_{1,2},\text{Diag}(2^{-1},1,\ldots,1)]\]
\item Si card$(k)>3$, alors, pour $a\in k$, $a$ différent de $-1,0$ et $1$, on a :
\[I_n+E_{1,2}=[I_n+a^2(1-a^2)E_{1,2},\text{Diag}(a,a^{-1},1,\ldots,1)]\]
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{prop}Le symbôle de Legendre est un morphisme.\end{prop}
\begin{proof}
Pour $p$ premier impair,
\[\left(\frac a p\right)=a^{\frac{p-1} 2} \text{ dans }\mathbb F_p\]
D'où :
\[\left(\frac {ab} p\right)=\left(\frac a p\right)\left(\frac b p\right)\]
\end{proof}
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{OA}
Vincent Beck, Jérome Malick, Gabriel Peyré, \emph{Objectif Agrégation}, H\&K, 2004, page 251.
\end{thebibliography}
\end{document}