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\newtheorem*{theoreme}{Théorème}
\newtheorem*{definition}{Définition}
\newtheorem*{propriete}{Propriété}
\newtheorem*{proposition}{Proposition}
\newtheorem*{corollaire}{Corollaire}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand*{\pext}{P_{\mathrm{ext}}}


\author{Lecons 223, 226, 229, 260, 261, 264 \\ Salim Rostam}
\title{Processur de Galton\protect\footnote{Sir Francis Galton (1822--1911) ; a notamment étudié la statistique des patronymes de l'Angleterre victorienne.} \ -- Watson\protect\footnote{Henry William Watson (1827--1903).}}

\interfootnotelinepenalty=10000 %taille maximale des notes de bas de page (pour ne pas qu'elles se répartissent sur plusieurs pages)

\begin{document}
\maketitle

Soit $X$ une variable aléatoire intégrable à valeurs dans $\mathbb{N}$ ; on note $p_n := \mathbb{P}(X = n)$ et $m := \mathbb{E}[X] = \sum_{n = 1}^{+\infty} n p_n$. Soit $(X_{i, j})$ une famille de variables aléatoire i.i.d de même loi que $X$. Soit $(Z_n)$ la suite définie par :
\begin{gather*}
Z_0 := 1
\\
\forall n \in \mathbb{N}, Z_{n + 1} := \sum_{i = 1}^{Z_n} X_{i, n}
\end{gather*}

L'idée est de modéliser avec $(Z_n)$ la taille d'une population : à l'instant $n$, il y a $Z_n$ individus et chaque individu $i$ a un nombre $X_{i, n}$ de descendants.

Ce développement étudie la suite $(Z_n)$, en particulier s'il existe un $n$ tel que $Z_n = 0$, \textit{i.e.} la population s'éteint. Remarquons une première chose qui va nous servir dans la suite.
\begin{propriete}
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, la variable $Z_n$ est indépendante de $X_{i, j}$ pour tout $i$ et pour tout $j < n$.
\end{propriete}

\begin{proof}
En effet, on peut remarquer que $Z_n$ ne dépend que de $Z_{n - 1}$ et des ${(X_{i, n - 1})}_i$ donc par récurrence, $Z_n$ ne dépend que des ${(X_{i, j})}_{i \geq 0, j < n}$ et l'on conclut par le caractère i.i.d. de la suite des $X_{i, j}$.
\end{proof}

\section{Espérance de $Z_n$}

On va montrer la proposition suivante, qui va nous donner une première idée de l'évolution de la taille de la population, \textit{i.e.} de la suite $Z_n$.

\begin{proposition}
On a $\mathbb{E}[Z_n] = m^n$.
\end{proposition}

On va raisonner par récurrence ; on remarque tout d'abord que $Z_0 = 1$ donc $\mathbb{E}[Z_0] = 1 = m^0$. Pour $n \in \mathbb{N}$, supposons que $\mathbb{E}[Z_n] = m^n$. On a :

\[
\mathbb{E}[Z_{n + 1}] = \mathbb{E}\left[ \sum_{i = 1}^{Z_n} X_{i, n}\right]
\]
Pour permuter espérance et somme, on va conditionner par $Z_n$, ce qui aura pour effet de \og fixer \fg{} la variable $Z_n$ :
\begin{align*}
\mathbb{E}[Z_{n + 1}] &= \mathbb{E}[\mathbb{E}[Z_{n + 1} | Z_n]]
\\
&= \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[ \left.\sum_{i = 1}^{Z_n} X_{i, n} \right| Z_n \right]\right]
\end{align*}
donc comme $Z_n$ est fixée (voir annexe \ref{annexe:espe_cond_perm_somme} pour plus de détails) on peut permuter, pour obtenir :
\[
\mathbb{E}[Z_{n + 1}]
= \mathbb{E}\left[\sum_{i = 1}^{Z_n}\mathbb{E}[ X_{i, n} |  Z_n ]\right]
\]

Or, par indépendance (cf. propriété énoncée au début) on a $\mathbb{E}[ X_{i, n} |  Z_n ] = \mathbb{E}[X_{i, n}]$ et comme cette dernière espérance vaut $m$ on obtient finalement :
\[\mathbb{E}[Z_{n + 1}] = \mathbb{E}[m Z_n] = m \mathbb{E}[Z_n]
\]
d'où le résultat par récurrence.

\section{Étude de la probabilité d'extinction}

\subsection{Réécriture}

Notons $\pext$ la probabilité d'extinction de la population, \textit{i.e.} $\pext := \mathbb{P}(\exists n \in \mathbb{N}, Z_n = 0)$. On remarque que si $Z_n = 0$ alors $Z_{n + 1} = 0$, autrement dit la suite d'évènements $(\{Z_n = 0\})_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante ; ainsi :
\[
\pext = \mathbb{P}\left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{Z_n = 0\}\right) = \underset{n \to + \infty}{\lim \!\uparrow} \mathbb{P}(Z_n = 0)
\]

On a donc montré que la suite $(\mathbb{P}(Z_n = 0))_n$ converge vers $\pext$ ; en obtenant des renseignements sur cette suite, on obtiendra donc des renseignements sur la probabilité d'extinction $\pext$, le but étant de savoir si elle est égale à $1$ ou non.

\subsection{Relation de récurrence}

Notons $G$ la fonction génératrice de la variable $X$ : pour $s \in [0, 1]$, on a $G(s) = \sum_{n = 0}^{+\infty} p_n s^n$ ; $G$ est dérivable sur $[0, 1[$ (c'est une série entière) et continue sur $[0, 1]$ (par exemple par convergence uniforme). On va montrer le fait suivant, où $G_n$ désigne la fonction génératrice de $Z_n$.

\begin{theoreme}
Pour $n \in \mathbb{N}$ on a $G_{n + 1} = G_n \circ G$ (sur $[0, 1]$).
\end{theoreme}

\begin{proof}
On fait comme pour le calcul de l'espérance ; soit $s \in [0, 1]$.

\begin{align*}
G_{n + 1}(s) &= \mathbb{E}\left[s^{Z_{n + 1}}\right]
\\
&= \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left. s^{Z_{n + 1}} \right| Z_n \right]\right]
\\
&= \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left. \prod_{i = 1}^{Z_n} s^{X_{i, n}} \right| Z_n \right]\right]
\\
&= \mathbb{E}\left[\prod_{i = 1}^{Z_n} \mathbb{E}\left[\left.  s^{X_{i, n}} \right| Z_n \right]\right]  \text{ (voir annexe \ref{annexe:espe_cond_perm_produit})}
\\
&\overset{\perp \!\!\! \perp}{=} \mathbb{E}\left[\prod_{i = 1}^{Z_n} \mathbb{E}\left[ s^{X_{i, n}} \right]\right]
\\
&= \mathbb{E}\left[G(s)^{Z_n}\right]
\\
G_{n + 1}(s) &= G_n \circ G
\end{align*}

\end{proof}

Ainsi, comme $G_0 = 1$ on en déduit que $G_n = \underbrace{G \circ \dots \circ G}_{n \text{ fois}}$ et donc que :
\[
G_{n + 1} = G \circ G_n
\]

En évaluant en $0$ on obtient, comme $G_n(0) = \mathbb{P}(Z_n = 0)$ :
\[
\mathbb{P}(Z_{n + 1} = 0) = G(\mathbb{P}(Z_n = 0))
\]
et on a notre relation de récurrence pour la suite $(\mathbb{P}(Z_n = 0))_n$ !

\subsection{Convergence}

Comme la limite de la suite $(\mathbb{P}(Z_n = 0))$ est dans $[0, 1]$ et comme $G$ est continue sur $[0, 1]$ on en déduit le théorème suivant.
\begin{theoreme}
La probabilité d'extinction $\pext$ est un point fixe de $G$ sur $[0, 1]$.
\end{theoreme}

Pour pouvoir déterminer ce point fixe, on va utiliser la précision suivante.

\begin{corollaire}
La probabilité d'extinction $\pext$ est le plus point fixe de $G$ sur l'intervalle $[0, 1]$.
\end{corollaire}


\begin{proof}
Soit $\ell$ un point fixe de $G$ sur $[0, 1]$. Comme $Z_0 = 1$, on a $\mathbb{P}(Z_0 = 1) = 0$ et donc :
\begin{equation}
\label{eq:Z0_inf_ptfixe}
\mathbb{P}(Z_0 = 0) \leq \ell
\end{equation}
On a remarqué que $G$ est dérivable sur $[0, 1[$ ; comme les coefficients de la série entière $G$ sont positifs, on en déduit que $G' \geq 0$ sur $[0, 1[$ donc que $G$ est \emph{croissante} sur $[0, 1]$. Ainsi, on peut composer par $G$ dans l'inégalité $(\ref{eq:Z0_inf_ptfixe})$ pour trouver
$G(\mathbb{P}(Z_0 = 0)) \leq G(l)$, et donc d'après ce qui a été fait précédemment et comme $l$ est un point fixe on obtient :
\[
\mathbb{P}(Z_1 = 0) \leq l
\]
En réitérant, on obtient par récurrence :
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \mathbb{P}(Z_n = 0) \leq l
\]
et donc en passant à la limite :
\[
\pext \leq l
\]

Ceci pour tout point fixe de $G$ sur $[0, 1]$ donc comme $\pext$ est un point fixe de $G$, c'est bien le plus petit.
\end{proof}

\subsection{La population va-t-elle presque sûrement s'éteindre ?}

D'après la section précédente, il suffit donc de savoir si $G$ possède un point fixe dans $[0, 1[$. Pour cela, on remarque que $G'' \geq 0$ sur $[0, 1[$ (toujours car les $p_n$ sont positifs) donc $G$ est \emph{convexe} sur $[0, 1]$.

\subsubsection{Cas $m > 1$}

Rappelons que $G(1) = 1$ ; de plus, $G'(s) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n p_n s^{n - 1}$ donc $G'(1) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n p_n = m$. Ainsi, par convexité la courbe représentative de $G$ est au-dessous de la droite passant par $(1, G(1) = 1)$ et de coefficient directeur $G'(1) = m > 1$. Autrement dit, on est dans la situation de la figure $\ref{figure:msup1}$.

\begin{figure}[h!]
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0.0,0.8,0.0}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.0,0.0}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
\centerline{
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale=6]
\draw[->,color=black] (0,0.0) -- (1.1,0.0);
\draw (1, .02) -- (1, -.02) node[below] {$1$};
\draw[->,color=black] (0.0,0) -- (0.0,1.11);
\draw (.02, 1) -- (-.02, 1) node[left] {$1$};
\draw[color=black] (0pt,0pt) node[below left] {$0$};
\draw [color=ccqqqq] (1.0,1.0)-- (0.0,-0.0);
\draw (0.7, 0.7) node[left] {$y = x$};
\draw [color=qqccqq] (1.0,1.0)-- (0.5,0.0);
\begin{small}
\draw (0.7763497700463109,0.5570678014323238) node[anchor=north west] {pente $m > 1$};
\end{small}
\draw [samples=50,rotate around={7.040039355942994:(0.37544418895685977,0.37657701285834405)},
xshift=0.37544418895685977cm,
yshift=0.37657701285834405cm,domain=-.359:.7)] plot (\x,{(\x)^2/2/0.4461355913472872});
\draw (0.06682782816065881,0.5164343862582559) node[anchor=north west] {$\mathcal{C}_G$};
\draw (1.0,1.0) node {$\times$};
\draw [dashed] (.38, .38) -- (.38, 0);
\draw (.38, 0) node[below] {$\pext$};
\draw (0, .46) node[left] {$p_0$};
\end{tikzpicture}
}
\caption{Cas $m > 1$}
\label{figure:msup1}
\end{figure}

La courbe se confondant localement avec la tangente, on en déduit que $G - x < 0$ au voisinage de $1^{-}$ donc comme $G - x$ vaut $p_0 \geq 0$ en $0$, par le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que $G - x$ s'annule sur $[0, 1[$ ; ainsi, par ce qui précède on a $\pext < 1$.



\subsubsection{Cas $m < 1$}

On est cette fois dans la situation de la figure \ref{figure:minf1} ; la courbe représentative de $G$ étant au-dessus de la droite verte, on en déduit que le seul point fixe de $G$ sur $[0, 1]$ est en $x = 1$ donc finalement $\pext = 1$.

\begin{figure}[h!]
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0.0,0.8,0.0}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.0,0.0}
\centerline{
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale=6]
\draw[->,color=black] (0,0.0) -- (1.1,0.0);
\draw (1, .02) -- (1, -.02) node[below] {$1$};
\draw[->,color=black] (0.0,0) -- (0.0,1.11);
\draw (.02, 1) -- (-.02, 1) node[left] {$1$};
\draw[color=black] (0pt,0pt) node[below left] {$0$};
\draw (0.8083008734230575,0.8298700583628441) node[anchor=north west] {$y = x$};
\draw[color=ccqqqq] (0, 0) --(1, 1);
\draw [color=qqccqq] (1.0,1.0)-- (0.003899989964590353,0.461384426827447);
\begin{small}
\draw (0.1,0.536490436482579) node[anchor=north west] {pente $m < 1$};
\end{small}
\draw (0.13291653555286007,0.85) node[anchor=north west] {$\mathcal{C}_G$};
\draw [samples=50,rotate around={0.0:(0.135571507831503,0.7527086765038709)},
xshift=0.135571507831503cm,
yshift=0.7527086765038709cm,
domain=-.135:.86)] plot (\x,{(\x)^2/2/1.5054173530077417});
\draw (1, 1) node {$\times$};
\draw (0, .75) node[left] {$p_0$};
\end{tikzpicture}
}
\caption{Cas $m < 1$}
\label{figure:minf1}
\end{figure}

\subsubsection{Cas $m = 1$}

Cette fois, les droites verte et rouge coïncident ; c'est la situation de la figure \ref{figure:meg1} (où l'on n'a par conséquent tracé que la droite rouge).

\begin{figure}[h!]
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.0,0.0}
\centerline{
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale=6]
\draw[->,color=black] (0,0.0) -- (1.1,0.0);
\draw (1, .02) -- (1, -.02) node[below] {$1$};
\draw[->,color=black] (0.0,0) -- (0.0,1.11);
\draw (.02, 1) -- (-.02, 1) node[left] {$1$};
\draw[color=black] (0pt,0pt) node[below left] {$0$};
\draw [color=ccqqqq] (1.0,1.0)-- (0.0,-0.0);
\draw (0.5699299306453406,0.5670508137617734) node[anchor=north west] {$y = x$};
\draw (0.12680446009702115,0.62) node[anchor=north west] {$\mathcal{C}_G$};
\draw [samples=50,rotate around={0.0:(0.0,0.5)},xshift=0.0cm,yshift=0.5cm,
domain=0:1)] plot (\x,{(\x)^2/2/1.0});
\draw (0, 0.5) node [left] {$p_0$};
\draw (1, 1) node {$\times$};
\end{tikzpicture}
}
\caption{Cas $m = 1$ avec $p_0 + p_1 < 1$}
\label{figure:meg1}
\end{figure}

Pour pouvoir conclure, on va utiliser le fait que si $p_0 + p_1 < 1$, alors $G'' > 0$ sur $[0, 1[$ donc que $G$ est strictement convexe. 

\begin{remarque}
Si $p_0 + p_1 = 1$, alors comme $m = 1$ on a $p_1 = 1$ donc $G = \mathrm{id}$ et p.s. $X = 1$. Autrement dit, $Z_n = 1$ p.s. donc on a bien $\pext = 0$ :-) On supposera donc dans la suite $p_0 + p_1 < 1$.
\end{remarque}

La fonction $G$ étant strictement convexe, la courbe représentative de $G$ est strictement au dessus de la droite représentative de $y = x$ privée du point $(1, 1)$. Ainsi, $G$ possède un unique point fixe sur $[0, 1]$, atteint pour $x = 1$ et donc finalement $\pext = 1$.

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{toulouse} TOULOUSE Paul S., \textit{Thèmes de probabilités et statistique}. Dunod, 1999.
\end{thebibliography}

\appendix

\section{Espérance conditionnelle et permutations}

\subsection{Somme}
\label{annexe:espe_cond_perm_somme}

On veut justifier le fait suivant :
\[
\mathbb{E}\left[ \left.\sum_{i = 1}^{Z_n} X_{i, n} \right| Z_n \right] = \sum_{i = 1}^{Z_n} \mathbb{E}\left[ \left. X_{i, n} \right| Z_n \right]
\]
Pour cela, on écrit :
\[
\mathbb{E}\left[ \left.\sum_{i = 1}^{Z_n} X_{i, n} \right| Z_n \right] = \mathbb{E}\left[ \left.\sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbf{1}_{i \leq Z_n} X_{i, n} \right| Z_n \right]
\]
On peut permuter par le théorème de Fubini (l'intégrande est positive) puis utiliser le fait que $\mathbf{1}_{i \leq Z_n}$ est $Z_n$-mesurable pour le sortir de l'espérance conditionnelle :
\begin{align*}
\mathbb{E}\left[ \left.\sum_{i = 1}^{Z_n} X_{i, n} \right| Z_n \right] &= \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{E}\left[ \left. \mathbf{1}_{i \leq Z_n} X_{i, n} \right| Z_n \right]
\\
&= \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbf{1}_{i \leq Z_n} \mathbb{E} [ X_{i, n} | Z_n ]
\\
\mathbb{E}\left[ \left.\sum_{i = 1}^{Z_n} X_{i, n} \right| Z_n \right] &= \sum_{i = 1}^{Z_n} \mathbb{E}[   X_{i, n} | Z_n ]
\end{align*}
et c'est ce que l'on voulait !

\begin{remarque}
Si l'on détaille cette manipulation, on n'a en fait pas besoin de l'espérance conditionnelle, comme le montre le calcul suivant.
\begin{gather*}
\mathbb{E}[Z_{n + 1}]
= \mathbb{E}\left[ \sum_{i = 1}^{Z_n} X_{i, n}\right]
= \mathbb{E}\left[ \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbf{1}_{i \leq Z_n} X_{i, n}\right]
\\
= \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{E}\left[  \mathbf{1}_{i \leq Z_n} X_{i, n}\right]
\overset{\perp \!\!\! \perp}{=}
\sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{E}[\mathbf{1}_{i \leq Z_n}] \mathbb{E}[X_{i, n}]
= m \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{E}[\mathbf{1}_{i \leq Z_n}]
\\
= m \mathbb{E}\left[\sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbf{1}_{i \leq Z_n}\right]
= m \mathbb{E}\left[\sum_{i = 1}^{Z_n} 1\right]
= m \mathbb{E}[Z_n]
\end{gather*}
\end{remarque}

\subsection{Produit}
\label{annexe:espe_cond_perm_produit}
La manipulation précédente avec l'indicatrice ne va plus fonctionner avec le produit\footnote{On ferait apparaître des $s^{\mathbf{1}_{i \leq Z_n}}$ ; je ne sais pas vous, mais moi je ne permute pas des intégrales et des produits infinis tous les jours !}. Pour cela (et pour la justification d'avant également), on utilise le lemme suivant.

\begin{lemme}
Soient $(X, Y)$ une variable aléatoire à valeurs dans l'espace probabilisable $(E \times F, \mathcal{E} \otimes \mathcal{F})$ et $f \in \mathcal{L}^1(E\times F, \mathcal{E}\otimes \mathcal{F}, \mathbb{P}_{(X, Y)})$. On suppose que $X$ est $\mathcal{B}$-mesurable et que $Y$ et $\mathcal{B}$ sont \emph{indépendantes}. La fonction $\hat{f}$ définie par
\[
\forall x \in E, \hat{f}(x) := \mathbb{E}[f(x, Y)]
\]
est $\mathcal{E}$-mesurable et on a :
\[
\mathbb{E}[f(X, Y) | \mathcal{B}] = \hat{f} \circ X \ \mathbb{P}\mathrm{-p.s.}
\]
\end{lemme}
\begin{proof}
OUVRARD Jean-Yves, \textit{Probabilités 2} (troisième édition). Cassini, 2009. (Proposition 11.22, p. 156--157.)
\end{proof}

\begin{remarque}
Pour se souvenir des hypothèses, on peut se dire que $\hat{f}(X) := \hat{f} \circ X$ est $X$-mesurable, ce qui est bon signe car $\mathbb{E}[\dots | \mathcal{B}]$ est une variable $\mathcal{B}$-mesurable.
\end{remarque}

Dans notre cas, on fixe $s$ et on utilise le lemme avec :
\begin{itemize}
\item $f(z, x) = \prod_{i = 1}^z s^{x_i}$ ;
\item $X = Z_n$ ;
\item $Y = (X_{i, n})_i$ ;
\item $\mathcal{B} = \sigma(X)$.
\end{itemize}
Ainsi, $\hat{f}(z) = \mathbb{E}\left[\prod_{i = 1}^z s^{X_{i, n}}\right] \overset{\perp \!\!\! \perp}{=} \prod_{i = 1}^z \mathbb{E}[s^{X_{i, n}}] = G(s)^z$. Par nos hypothèses d'indépendances, on peut donc appliquer le théorème pour en déduire que $\mathbb{E}[s^{Z_{n + 1}} | Z_n] = G(s)^{Z_n}$ et donc $G_{n + 1} = G_n \circ G$.



\end{document}