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\def\ex{\noindent\textbf{Exemple}}
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\title{Le\c con 228 : continuit\'e et d\'erivabilit\'e des fonctions d'une variable r\'eelle. Exemples, contre-exemples}
\date{14 d\'ecembre 2010}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\begin{document}



\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Le th\'eor\`eme de Glaeser\footnote{\underline{G\'eom\'etrie diff\'erentielle. Th\`emes d'analyse pour l'agr\'egation}, St\'ephane GONNORD \& Nicolas TOSEL, page 28}}
\end{Large}
\end{center}

\begin{theo}[de Glaeser]
Soit $f:\R\longrightarrow\R_+$ une fonction de classe $\C^2$. $\sqrt{f}$ est de classe $\C^1$ si, et seulement si, $f'$ et $f''$ s'annulent en les points o\`u $f$ s'annule.
\end{theo}\bigskip

\begin{proof}
On va proc\'eder en trois \'etapes.
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{f}$ est d\'erivable en $x_0\in\R$ ssi ou bien $f(x_0)\ne 0$ ou bien $f(x_0)=f'(x_0)=f''(x_0)=0$.
\item Pour $\alpha<0 $, en ayant not\'e $\displaystyle{M(\alpha)=\sup_{t\in[-2\alpha,2\alpha]}|f''(t)|}$ et suppos\'e que $f(0)=f'(0)=f''(0)=0$, on a $f'^2(x)\leq f(x)M(\alpha),\forall x\in[-2\alpha,2\alpha]$.
\item On finit par montrer que $\sqrt{f}$ est de classe $\mathcal{C}^1$.
\end{enumerate}\bigskip\hrule\bigskip

\begin{enumerate}
\item ''$\Rightarrow$`` Soit $x_0\in\R$. On suppose que $\sqrt{f}$ est d\'erivable en $x_0$. Soit $\sqrt{f}(x_0)=0$ soit $\sqrt{f}(x_0)\ne 0$.\newline
%Si $f(x_0)\ne 0$, les formules de d\'erivation nous donnent directement $\sqrt{f(x_0)}'=\dfrac{f'(x_0)}{2\sqrt{f(x_0)}}$.\newline
Si $f(x_0)=0$ alors $f'(x_0)=\left( \sqrt{f(x_0)}^2\right) '=2\sqrt{f}'(x_0)\times\sqrt{f(x_0)}=0$. Il reste \`a montrer que $f''(x_0)=0$. Comme $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$, d'apr\`es la formule de Taylor-Young de $f$ \`a l'ordre $2$ en $x_0$, on a $f(x)=\dfrac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)$ d'o\`u $\dfrac{f(x)}{(x-x_0)^2}=\dfrac{1}{2}f''(x_0)+o(1)=\left(\dfrac{\sqrt{f(x)}}{x-x_0}\right)^2$. Cela est \'equivalent \`a \'ecrire que $\dfrac{\sqrt{f(x)}}{|x-x_0|}=\sqrt{\dfrac{f''(x_0)}{2}+o(1)}$. On passe \`a la limite en $x_0^+$ est $x_0^-$ et on obtient $0\leq\sqrt{\dfrac{f''(x_0)}{2}}\leq 0$ d'o\`u $f''(x_0)=0$.\newline
Sinon $f(x_0)\ne 0$ et .\newline
''$\Leftarrow$`` R\'eciproquement, si $f(x_0)\ne 0$, $\sqrt{f}$ est d\'erivable en vertu du fait que  $f(x_0)\ne 0$.\newline 
Si $f(x_0)=f'(x_0)=f''(x_0)=0$, on a par la formule de Taylor-Young : $f(x)=o((x-x_0)^2)$. Donc $\dfrac{f(x)}{(x-x_0)^2}=o(1)$. Cela implique que $\dfrac{\sqrt f(x)}{|x-x_0|}=\sqrt{o(1)}\longrightarrow 0$ quand $x\to x_0$ et on peut dire que $(\sqrt{f})'(x_0)=0$ .


\item On reprend les notations et hypoth\`eses du pr\'eambule. On remarque ici que $M(\alpha)<+\infty$ car $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$. $\forall x,h\in[-\alpha,\alpha],x+h\in[-2\alpha,2\alpha]$ et l'in\'egalit\'e de Taylor Lagrange sur $[x,x+h]$ donne 
\[|f(x+h)-f(x)-f'(x)h|\leq\dfrac{h^2}{2}|f''(x)|\leq\dfrac{h^2}{2}M(\alpha)\]
donc $0\leq f(x+h)\leq f(x)+f'(x)h+\dfrac{h^2}{2}M(\alpha)=P(h)$ o\`u $P$ est un polyn\^ome du second degr\'e. Son discriminant est $f'(x)^2-2f(x)M(\alpha)$ et est n\'egatif car $P(h)\geq 0$ sur $[-\alpha,\alpha]$. On a donc \'etabli l'\'egalit\'e demand\'ee.
\item On montre l'\'equivalence du th\'eor\`eme.\newline
''$\Leftarrow$`` Si $f(x_0)\ne 0$, $f$ ne s'annule pas dans un voisinage de $x_0$ donc par la formule de d\'erivation $(\sqrt{f})'$ est continue en $x_0$.\newline
Si $f(x_0)=0$, on pose $g(x)=f(x+x_0)$. $g$ est $\C^2$ et $g\geq 0$. Par les hypoth\`eses sur $f$, $\sqrt{g}$ est d\'erivable.\newline
Soit $V$ un voisinage de $0$, on peut \'ecrire $V=]-\alpha,\alpha[$. Si $x\in V$, 
\begin{enumerate}[label=-]
\item ou bien $g(x)=0$, alors $g'(x)=g''(x)=0$ et donc $(\sqrt{g})'(x)=0$ par le point 1 ;
\item ou bien $g(x)\ne 0$, alors $g'(x)^2\leq 2g(x)M(\alpha)\Leftrightarrow\dfrac{g'(x)^2}{2\sqrt{g}(x)}=(\sqrt{g})'(x)\leq\sqrt{\dfrac{M(\alpha)}{2}}\to 0$ quand $\alpha\to 0$. Donc $(\sqrt{g})'(x)\to 0$ quand $x\to 0$.
\end{enumerate}
Donc $(\sqrt{g})'$ est continue en $0$ c'est \`a dire $(\sqrt{f})'$ est continue en $x_0$.\newline
''$\Rightarrow$`` Si $\sqrt{f}$ est $\C^1$ alors elle est d\'erivable donc $f'$ et $f''$ s'annulent en les points o\`u $f$ s'annule.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\end{document}