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\title{Groupes d'ordre 12}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Où l'on voit que les seuls groupes d'ordre 12 sont : $\frac{\mathbb{Z}}{12\mathbb{Z}}$, 
$\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$, $A_4$, $\mathbb D_{12}$ ou $\mathcal{T}$
\end{abstract}

Soit G un groupe d'ordre 12. S'il est commutatif, la structure des groupes abélien de type fini et le théorème chinois
indiquent qu'il est isomorphe à $\frac{\mathbb{Z}}{12\mathbb{Z}}$ ou à $\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}} $

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Supposons maintenant que G n'est pas abélien. Soit H un 3-Sylow, G agit par translation sur G/H. Si $g\in G$ est dans le noyau de l'action,
$g$ fixe notamment la classe du neutre, autrement dit H, donc le noyau est inclus dans H et peut être soit trivial, soit H. Dans le premier cas,
G est isomorphe à un sous-groupe de $\Sigma_4$ (car $|G/H|=4$) d'ordre 12. Un tel sous-groupe est distingué car d'indice 2, contient un élément
d'ordre 3 c'est-à-dire un 3-cycles, et comme ceux-ci sont conjugués il les contient tous. $A_4$ est engendré par les 3-cycles et de cardinal 12
donc $G\simeq A_4$.

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Dans le second cas $H\vartriangleleft G$ et il n'y a alors qu'un seul 3-Sylow, donc deux éléments d'ordre 3. Soit $g$ l'un d'eux. Son orbite
par conjugaison est de taille 1 ou 2, égale à l'indice de son centralisateur qui est donc de cardinal pair et contient un élément $h$ d'ordre
2. $h$ et $g$ commutent donc $x:=gh$ est d'ordre 6. De plus $\langle x\rangle$ est d'indice 2, il est donc distingué.

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Supposons qu'il existe $y$ un autre élément d'ordre 2 que $x^3$. On a $\langle x\rangle\cap\langle y\rangle={e}$, $\langle x\rangle\vartriangleleft G$
et, par cardinalité, $\langle x\rangle\langle y\rangle=G$, donc $G\simeq \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\rtimes_{\phi}\frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$.
Le morphisme trivial donne le produit direct et le seul autre automorphisme de $\frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ est $1\mapsto5=-1$. Le produit
semi-direct obtenu est isomorphe à $\mathbb D_{12}$ ($x$ est la rotation, $y$ la réflexion)

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Si un tel $y$ n'existe pas, les éléments de $G\setminus \langle x\rangle$ sont d'ordre 4 ou 6. En fait 6 est exclus : si $o(z)=6$ alors $z^3
=x^3$ et $o(z^2)=3$ donc $z^2=x^2$ ou $x^4 \Rightarrow z=x$ ou $x^{-1}$. Soit z d'ordre 4, $o(b^2)=2$ donc $b^2=x^3$ et $o(zxz^{-1})=6$ donc $zxz^{-1}=x$
ou $x^{-1}$, le premier étant exclus sinon $x$ et $z$ commuteraient et G serait abélien, G est isomorphe au groupe dicyclique $\mathcal{T}$ :

\[\mathcal{T}=\langle x,z|x^6=e, z^2=x^3, zxz^{-1}=x^{-1}\rangle\]

\section*{Référence :}
Delcourt, ``Théorie des groupes'' p.98
\end{document}
