\documentclass[10pt]{article}


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%Pour les Automates%
%\usepackage{pgf}
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%%%%% autres options %%%%

%\pagestyle{headings}         % Pour mettre des entêtes avec les titres des sections en haut de page

%\usepackage{pgf,tikz}         % Dessiner des Graphes :
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{Théorème de Hahn-Banach Géométrique en Dimension Finie}
\author{Ivan \bsc{Bannwarth}}
   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Commandes utiles %%%%


%Les mathbb : 
\newcommand\C{\mathbb{C}} 
\newcommand\N{\mathbb{N}} 
\newcommand\R{\mathbb{R}} 
\newcommand\D{\mathbb{D}} 
\renewcommand\H{\mathbb{H}} 
\renewcommand{\S}{\mathbb{S}}
\newcommand{\Cb}{\overline{\C}} 
\newcommand{\Rb}{\overline{\R}} 
\newcommand{\Hb}{\overline{\H}}
%Les mathrm :
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}} 
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}} 
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} 
\newcommand{\Mob}{\mathrm{Mob}} 
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
%Les mathcal :
\newcommand{\Lcal}{\mathcal{L}} 
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\newcommand{\Hcal}{\mathcal{H}} 
\newcommand{\Pcal}{\mathcal{P}} 
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\Ecal}{\mathcal{E}} 
%Les réécritures :
\newcommand{\conj}{\mathbf{C}} 
\renewcommand\D{\Delta} 
\newcommand{\scal}{<\ ,\ >}

\newcommand{\n}{\bigskip}
%\renewcommand{\frac}{\frac}
%\DeclareMathOperator{\D}{\mathcal{D}}


%%%% Commande \subsubsubsection{} %%%%%%
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%\setcounter{tocdepth}{3}
%\makeatletter
%\newcounter {subsubsubsection}[subsubsection]
%\renewcommand\thesubsubsubsection{\thesubsubsection .\@alph\c@subsubsubsection}
%\newcommand\subsubsubsection{\@startsection{subsubsubsection}{4}{\z@}%
%                                     {-3.25ex\@plus -1ex \@minus -.2ex}%
%                                     {1.5ex \@plus .2ex}%
%                                     {\normalfont\normalsize\bfseries}}
%\newcommand*\l@subsubsubsection{\@dottedtocline{3}{10.0em}{4.1em}}
%\newcommand*{\subsubsubsectionmark}[1]{}
%\makeatother
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage{thmbox}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{cor}{Corollaire}


\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{Définition}
\newtheorem{prop}{Propriété}
\newtheorem{nota}{Notation}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{exe}{Exemple}
\newtheorem{rmq}{Remarque}



\begin{document}

\maketitle

\n

Références : 

\emph{Ramis-Warusfel, p724}

\emph{Géométrie}, \bsc{Tauvel}.

\n

\begin{thm}$\Ecal$ espace affine réel de dimension finie $n$. $\A$ ouvert convexe non vide de $\Ecal$ et $\Lcal$ sous-espace affine de $\Ecal$ tel que $\A\cap \Lcal=\emptyset$. Alors il existe un hyperplan affine $\H$ de $\Ecal$ qui contient $\Lcal$ et ne rencontre pas $\A$.
\end{thm}

\n\emph{Démonstration :}

Supposons $\Lcal'$ de dimension maximale vérifiant $\A\cap\Lcal=\emptyset$ et $\Lcal\subset\Lcal'$.

$\bullet$ Si dim$(\Ecal) = 1$ alors tout ouvert convexe de $\Ecal$ est un intervalle et $\Lcal'=\{x\}$ hyperplan affine (de dimension 0).

$\bullet$ $\mathrm{dim} (\Ecal) \geq 2$. Supposons que dim$(\Lcal')< n-1$, et montrons d'abord que c'est absurde dans le cas $n=2$ et ensuite absurde dans le cas $n>2$ en se ramenant au cas $n=2$ en projetant $\Ecal$ sur $\Ecal/\Lcal$.

\begin{enumerate}
	\item \emph{Cas $n=2$} :  On suppose donc $\mathrm{dim} \Lcal' = 0$, c'est-à-dire $\Lcal$ est un point. On vectorialise $\Ecal$ au point de $\Lcal'$. On suppose donc $\Lcal'=\{0\}$.
Soit $\B=\bigcup_{t >0} t\A$. C'est un ouvert comme réunion d'ouverts. Il est convexe car : $\forall x,y\in \A$, et $\forall \lambda\in[0,1]$, 
$$\lambda x + (1-\lambda) y = \dfrac{1}{\lambda t_x+(1-\lambda)t_y} \left( \dfrac{\lambda t_x}{\lambda t_x+(1-\lambda)t_y}\frac{x}{t_x} + \dfrac{(1-\lambda) t_y}{\lambda t_x+(1-\lambda)t_y}\frac{y}{t_y} \right) \in \dfrac{1}{\lambda t_x+(1-\lambda)t_y}\A \subset \B$$ 

$\B$ ne contient pas $0$ (sinon $0\in A$).
Mais $0\in \overline{\B}$ de manière évidente donc dans $Fr(\B)$ car $B$ est ouvert.

Si $Fr(\B)=\{0\}$ alors $\Ecal\setminus\{0\}=\B\cup(\Ecal\setminus\{\overline{\B}\})$. Comme $\Ecal$ est de dimension $2>1$, $\Ecal\setminus\{0\}$ est connexe donc comme $\{0\}\subsetneq \B$, $\Ecal=\B$ absurde car $\B$ est convexe et $\Ecal\setminus\{0\}$ ne l'est pas.

Soit ainsi $x\in Fr(\B)\setminus\left\{0\right\}$. $x\notin \B$ (car $\B$ est ouvert) et aussi $-x\notin \B$. En effet, sinon par la convexité de $\B$, l'intervalle $[-x,x[\subset \B$ absurde car $0\in[-x,x[$ et $0\notin \B$ [Lemme].

Enfin, $\R x \cap \A=\emptyset$ en effet, s'il existe $\lambda\in\R\setminus\{0\}$ tel que $\lambda x \in \A$ alors $x\in \frac{1}{\lambda}\A$ et donc soit $x$ soit $-x$ est dans $\B$ (suivant si $\lambda>0$ ou non). Donc $\Lcal'$ est strictement inclus dans $\R x$ qui vérifie $\R x\cap \A=\emptyset$. Absurde avec l'hypothèse de la maximalité de la dimension de $\Lcal'$.

\n Donc lorsque $n=2$, $\Lcal'$ est de dimension $n-1$, c'est un hyperplan.

	\item $\mathrm{dim}(\Ecal) >2$ : On vectorialise en un point de $\Lcal'$ (on suppose donc maintenant que $0\in\Lcal'$). 

Posons $\pi:\Ecal\rightarrow\Ecal/\Lcal'$ la surjection canonique de $\Ecal$ sur l'espace vectoriel $\Ecal/\Lcal'$. Par définition de $\pi$ et $\Ecal/\Lcal'$, $\pi$ est une application linéaire ouverte. Donc comme $\A$ est un ouvert convexe non vide tel que $\A\cap\Lcal'=\emptyset$, $\pi(\A)$ est un ouvert convexe non vide ne contenant pas 0.

Comme nous avons supposé dim$(\Lcal')<n-1$, la dimension de $\Ecal/\Lcal'$ est strictement plus grande que 1, il existe donc un plan $\Pcal$ tel que $\Pcal\cap\pi(\A)\neq\emptyset$. Posons $\B=\Pcal\cap\pi(\A)$, c'est un ouvert convexe non vide de $\Pcal$ espace vectoriel de dimension 2 donc d'après le cas $n=2$, il existe $\mathcal{D}$ droite de $\Pcal$ (ie hyperplan de $\Pcal$), tel que $\mathcal{D}\cap\B=\emptyset$. 

Le sous espace vectoriel $\H=\pi^{-1}(\mathcal{D})$ contient alors strictement $\Lcal'$ car $\dim(\D)=1>0$ et $\H$ vérifie $\H\cap\A=\emptyset$, encore une fois contradictoire avec l'hypothèse de maximalité de la dimension de $\Lcal'$ et $\dim(\Lcal')<n-1$.

\n Conclusion, $\Lcal$ est un hyperplan affine tel que $\Lcal'\cap\A=\emptyset$.

\end{enumerate}

\n\emph{Remarque :}
$\A$ ouvert est nécessaire comme le montre l'exemple suivant : \\ $\Ecal=\mathbb{R}^2$, $\Lcal=\left\{0\right\}$, $\A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2, y<0\right\}\cup\left\{(1,0)\right\}$. En effet $\A$ est un convexe mais il n'existe pas de droite vectorielle ne rencontrant pas $\A$ (faire un dessin si besoin).


\begin{lem}
	Soit $B$ un ouvert convexe, alors $\forall x\in B, \forall y\in \partial B$, $[x,y[\subset B$
\end{lem}

\emph{Démonstration :} $B$ ouvert et $x\in B$ donc il existe $r>0$ tel que $\B(x,r) \subset B$. 

Comme $B$ est un convexe, $\overline{B}$ est aussi un convexe. Donc $$A=\bigcup_{t\in]0,1]} t \B(x,r)+(1-t)y \subset \overline{B}$$

car $\forall z\in\B(x,r), tz + (1-t)y \in \overline{B}$. $A$ est ouvert car $\B(x,r)$ est ouvert et $A$ est une union d'ouvert.

Donc, $\forall z\in[x,y[, \exists t\in ]0,1]$ tel que $z=tx+(1-t)y \in t\B(x,r) + (1-t)y$ qui est un ouvert inclus dans $\overline{B}$. Donc $z\in B$ car $B$ ouvert donc égal à l'intérieur de $\overline{B}$.

Ce qui fini la démonstration du lemme.



\end{document}