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\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}

\title{Théorème de Hahn-Banach en dimension finie\\version analytique}
\date{2012-2013}
\maketitle

Référence : François Rouvière, \emph{Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation (3\up{e} édition)}, Cassini, 2009, p.27.

\begin{thm}
~~\\
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb{R}$.\\
Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E$.\\
Soit $f$ une forme linéaire sur $V$.\\
Alors $f$ admet un prolongement à $E$ de même norme que $f$.
\end{thm}

\begin{proof}
~~\\
\begin{itemize}
\item On suppose dans un premier temps que $E$ est muni d'une norme euclidienne.\\
Alors on a :
$$E=V\oplus V^\bot$$
On définit la forme linéaire $F:E\to \mathbb{R}$ par :
$$F(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
f(x) \textrm{ si } x\in V\\
0 \textrm{ si } x\in V^\bot
\end{array}
\right.
$$

Alors pour $x\in V$, on a :
$$|f(x)|=|F(x)|\le \|F\|.\|x\|$$
donc
$$\|f\|\le \|F\|$$
et pour $x\in V, x'\in V^\bot$, on a :
$$|F(x+x')|=|f(x)|\le \|f\|.\|x\|\le \|f\|.\|x+x'\|$$
car
$$\|x+x'\|^2=\|x\|^2+\|x'\|^2\ge \|x\|^2$$
par Pythagore.\\
Donc
$$\|F\|=\|f\|$$
\item Cas général :\\
On suppose $\|f\|=1$ ($f$ non nulle).\\
Soit $u\in E,x,y\in V$,
\begin{align*}
(f(x)-\|x-u\|)-(f(y)+\|y-u\|) &= f(x-y)-\|x-u\|-\|y-u\|\\
&\le \|x-y\|-\|x-u\|-\|y-u\|\\
&\le 0
\end{align*}
par inégalité triangulaire.\\
Donc
$$\sup_{x\in V}(f(x)-\|x-u\|)\le \inf_{y\in V}(f(y)+\|y-u\|)$$
Donc il existe $a\in \mathbb{R}$ tel que :
$$\forall x,y\in V, f(x)-\|x-u\|\le a\le f(y)+\|y-u\|$$

Soit $u\notin V$, on définit pour $x\in V, t\in \mathbb{R}$ :
$$g(x+tu)=f(x)+ta$$
$g$ est une forme linéaire sur $W:=V\oplus \mathbb{R}u$ et $g$ prolonge $f$, donc :
$$\|f\|\le \|g\|$$

Pour $x\in V, g(x-u)=f(x)-a$, donc :
$$|g(x-u)|\le \|x-u\|$$

En remplaçant $x$ par $-\frac{x}{t}$, on a :
$$|g(x+tu)|\le \|x+tu\|$$
donc $\|g\|\le 1=\|f\|$, donc :
$$\|g\|=\|f\|$$

Par récurrence, on prolonge $f$ sur $E$ par une forme de même norme.
\end{itemize}

\end{proof}
\end{document}