\documentclass{article}

\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}      
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage{soul}
\usepackage{amsthm, amsmath, amssymb}
%\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{centernot}
%\usepackage[all]{xy}

\setlength\parindent{0em}

\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\newtheorem*{app}{Application}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Théorème d'inversion locale}
\date{2012-2013}
\maketitle

\qquad Référence : François Rouvière, \emph{Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation (3e édition)}, Cassini, 2009, p. 222.

\begin{thm}
Soit $E,F$ deux espaces de Banach.\\
Soit $U$ un voisinage ouvert d'un point $x_0\in E$.\\
Soit $f:U\to F$ une application de classe $\mathcal C^1$.

Si $Df(x_0)$ est une bijection continue de $E$ dans $F$, alors $f$ est un $\mathcal C^1$-difféomorphisme d'un voisinage $V$ de $x_0$ sur $f(V)$.
\end{thm}

\begin{proof}
En posant $g(x):=(Df(x_0))^{-1}(f(x_0+x)-f(x_0))$, on se ramène au cas où $E=F,x_0=f(x_0)=0$ et $Df(0)=\text{Id}$.

En effet :
\begin{align*}
Dg(0)&=D(Df(x_0))^{-1}(0)\circ Df(x_0)\\
&=Df(x_0)^{-1}\circ Df(x_0)\\
&=\text{Id}
\end{align*}

On pose désormais $u(x):=f(x)-x$, $u$ est de classe $\mathcal C^1$ et $Du(0)=0$.

$z\mapsto Du(z)$ est continue (car $u$ est $\mathcal C^1$) donc il existe $r>0$ tel que :
\[\forall z\in B(0,r),\|Du(z)\|\le \frac 12\]
On a :
\[u(y)-u(x)=\int_0^1Du(x+t(y-x)).(y-x)\,\mathrm{dt}\]
donc $u_{|B(0,r)}$ est $\frac 12$-lipschitzienne.

Pour $x,y\in B(0,r)$, on a donc :
\[|f(x)-f(y)|=|x+u(x)-y-u(y)|\ge\frac 12|x-y|\]
Donc $f_{|B(0,r)}$ est injective.

Soit $a\in B(0,\frac r2),x\in B(0,r)$, on a :
\begin{align*}
|a-u(x)|&\le |a|+|u(x)-u(0)|\\
&\le |a|+\frac12 |x|\\
&\le r
\end{align*}
Donc l'application $\frac 12$-lipschitzienne $x\mapsto a-u(x)$ envoie $B(0,r)$ dans elle-même et $B(0,r)$ est complet. 

En appliquant le théorème du point fixe, il existe un unique $y\in B(0,r)$ tel que $a-u(y)=y$, c'est-à-dire $a=f(y)$.

On pose $W:=B(0,\frac r2)$ et $V:=f^{-1}(W)\cap B(0,r)$, alors $f_{|V}$ est surjective dans $W$ qui est un voisinage de $0$, donc $f$ est bijective sur un voisinage de $0$.

Pour $\displaystyle z\in B(0,r),\|Du(z)\|\le\frac 12$, donc la série $\displaystyle\sum_{k\ge 0}(-Du(z))^k$ converge vers l'inverse de $\text{Id}+Du(z)=Df(z)$, donc $Df(z)$ est inversible pour $z\in B(0,r)$.

Montrons maintenant que $f^{-1}$ est différentiable sur $W$.

Soit $y,y_0\in W,x,x_0\in V$ tels que $f(x)=y$ et $f(x_0)=y_0$.

Alors :
\[y-y_0=f(x)-f(x_0)=Df(x_0).(x-x_0)+o(|x-x_0|)\]
Or :
\begin{align*}
|x-x_0|&=|f(x)-f(x_0)-(u(x)-u(x_0))|\\
&\le |y-y_0|+\frac 12 |x-x_0|
\end{align*}
Donc $|x-x_0|\le 2|y-y_0|$, donc $|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|\le 2|y-y_0|$, donc $f^{-1}$ est lipschitzienne (et en particulier continue).

Donc $o(|x-x_0|)=o(|y-y_0|)$, d'où :
\begin{align*}
Df(x_0).(x-x_0)&=y-y_0+o(|y-y_0|)\\
x-x_0&=Df(x_0)^{-1}.(y-y_0)+o(|y-y_0|)
\end{align*}
Donc $f^{-1}$ est différentiable en $y_0$ de différentielle $Df(x_0)^{-1}$.

Finalement, $f^{-1}$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $W$ car $Df^{-1}$ est la composée des applications continues suivantes :
\[y\mapsto f^{-1}(y)\mapsto Df(f^{-1}(y))\mapsto Df(f^{-1}(y))^{-1}=Df^{-1}(y)\]
\end{proof}
\end{document}