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\title{L'ellipsoïde de John-Loewner}

\newcommand{\norm}[1]
  {\|#1\|}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Enfermons $K$ compact d'intérieur non vide de $\mathbb{R}$ dans un unique ellipsoïde de volume minimal.
\end{abstract}

\section*{Existence}

Un ellipsoïde est un $\{q(x)\leq 1\}$ où $q$ définie positive ($\in \mathcal{Q}^{++}$) $=\sum a_ix_i^2$ dans une base orthonormée (notons que $det(p)=det(O^tdiag(a_i)O)=a_1\dots a_n$)
\[Vol(q)=\iint\dots\int_{\sum a_ix_i^2}\d x_1\dots\d x_n = \frac1{\sqrt{a_1\dots a_n}}Vol(B_n)\]
On va maximiser le déterminant sur le compact convexe non vide $A=\{q\in \mathcal{Q}^+|\forall x\in K, q(x)\leq1\}$ dans $\mathcal{Q}$ muni de
$\norm{q}=\sup_{B_n}|q(x)|$. Si $q,q'\in A$,
\[[\lambda q+(1-\lambda)q'](x)=\lambda q(x)+(1-\lambda)q'(x) \leq 0\ \forall x \text{ et } \geq 1 \ \forall x\in K\]
Donc $A$ convexe. D'autre part si $q_n\in A\rightarrow q$,
\[\norm{q_n(x)-q(x)}\leq\norm{q_n-q}\,\norm{x}^2\rightarrow 0 \text{ donc } q(x)\leq 1\]
Donc A fermé. Soit $B(a,r)$ une boule incluse dans $K$, si $\norm{x}\leq r$ alors $x+a\in K$, par Minkowski on obtient
\[\sqrt{q(x)}\leq\sqrt{q(x+a)}+\sqrt{q(-a)}\leq 2\]
Donc, si $\norm{x}\leq 1$, $q(x)\leq \frac4{r^2}$ : $A$ est borné. K est borné $\subset B(0,M)$, $\frac{\norm{x}^2}{M}\in A\cap \mathcal{Q}^{++}$

\bigskip

Ainsi le continu $det$ atteint son max en $q_0$, ce max est $>0$ (vu l'élément exhibé dans $A\cap \mathcal{Q}^{++}$), donc $q_0\in\mathcal{Q}^{++}$. L'unicité s'obtient en regardant $\frac{q_0+q_1}{2}$ et grâce au lemme suivant :

\section*{Unicité}

Si $A,B\in\mathcal{Q}^{++},\ det(\lambda A + (1-\lambda) B > det(A)^\lambda det(B)^{1-\lambda}$

\bigskip

Démonstration : On diagonalise simulanèment $A=PP^t$ et $B=Pdiag(\beta_i)P^t$, on es ramené à montrer $det(\lambda I + (1-\lambda) diag(\beta_i))>det(diag(\beta_i))^{1-\lambda}$ or, en sommant des inégalités de stricte concavité de $ln$,
\[\sum_i ln(\lambda+(1-\lambda)\beta_i)>(1-\lambda)\sum_i ln\beta_i\]

\end{document}
