\documentclass[12pt]{article}

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\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
\newtheorem{definition}{Définition}[section]
\newtheorem{corollaire}{Corollaire}[section]
\newtheorem{lemme}{Lemme}[section]

\newcommand{\func}[5]{
\begin{displaymath}
#1
\left\{
  \begin{array}{rcl}
    #2 & \longrightarrow & #3 \\
    #4 & \longmapsto & #5 \\
  \end{array}
\right.
\end{displaymath}}

\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\inv}{\operatorname{Inv}}
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\newcommand{\fr}{\operatorname{Fr}}
\newcommand{\conv}{\operatorname{conv}}
\newcommand{\ex}{\operatorname{\mathcal{E}}}

\begin{document}

\section*{Théorème de Krein-Milmann}

\begin{lemme}
Soit $a\in K$ tel qu'il existe un hyperplan d'appui $H$ contenant $a$, alors $a$ est extrémal dans $K$ si et seulement si $a$ est extrémal dans $K\cap H$.
\end{lemme}

\begin{proof}
\begin{list}{$\star$}{}
\item Soit $a$ extrémal dans $K$. Soit $u,v \in K\cap H$ tels que $a = \dfrac{u+v}{2}$, alors en particulier, $u$ et $v$ appartiennent à $K$. L'égalité $a = \dfrac{u+v}{2}$ est encore valable dans $K$, or $a$ est extrémal dans $K$, donc $u = v = a$. Le point $a$ est donc extrémal dans $K\cup H$.\\
\item Soit $a$ un point extrémal de $K\cap H$. Il existe une forme linéaire $\varphi$ telle que $H = \varphi^{-1}(\{1\})$ et $K\subset \{\varphi \leqslant 1\}$. Soit $u,v\in K$ tels que $a = \dfrac{u+v}{2}$, on a donc
\[1 = \varphi(a) = \varphi\left(\dfrac{u+v}{2}\right) = \dfrac{\varphi(u) + \varphi(v)}{2} \leqslant 1\]
or $\varphi(u)\leqslant 1$ et $\varphi(v) \leqslant 1$, on doit donc avoir $\varphi(u) = \varphi(v) = 1$. On a donc $u,v \in K\cap H$, or a est extrémal dans $k\cap H$, l'égalité $a = \dfrac{u + v}{2}$ entraine donc $a = u = v$.\\
\end{list}
\end{proof}

\begin{theorem}[Krein-Milmann]
Soit $K$ un convexe compact de $\mathds{R}^n$, alors $K$ est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux.
\end{theorem}

\begin{proof}
Soit $E_a(K)$ l'espace affine engendré par $K$, nous allons montrer le résultat par récurrence sur la dimension de $E_a(K)$.\\

Supposons que $\dim(E_a(K)) = 0$, alors $K$ est un singleton et le résultat est évident puisque l'ensemble des points extrémaux de $K$ est $K$ lui-même.\\

Supposons le résultat vrai pour tout convexe $C$ tel que $\dim(E_a(C)) < p$. Supposons que $\dim(E_a(K)) = p$. Comme $K$ est un convexe compact non vide, $K$ est l'enveloppe convexe de sa frontière. Il suffit donc de montrer que $\fr(K) \subset \conv(\ex(K))$.\\

Soit $c\in \fr(K)$, alors il existe un hyperplan d'appui contenant $c$. $c\in K\cap H$, or $\dim(E_a(k\cap H)) \leqslant \dim(H) < p$, donc d'après l'hypothèse de récurrence, $c$ est combinaison convexe des points extrémaux de $K\cap H$.\\

Or d'après la question précédente, $\ex(K\cap H) \subset \ex(K)$, donc a fortiori, $c$ est combinaison convexe des points extrémaux de $K$. Ceci étant vrai pour tout point de la frontière, et comme $\conv(\fr(K)) = K$, la propriété est vrai pour tout point de $K$. On a donc démontré le théorème.\\
\end{proof}
\end{document}