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%\documentclass[10pt]{article}
\setlength{\parindent}{0cm}%Pas d'indentation au debut des nouveaux paragraphes



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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{huge}
Théorème de \textsc{Kronecker}\\
\end{huge}
\vspace{1cm}
Florian \textsc{Bouguet}\\
\end{center}




\underline{Références :}
\begin{itemize}
	\item \textsc{Szpirglas} : Mathématiques L3 Algèbre
	\item \textsc{Francinou, Gianella, Nicolas} : Oraux X-ENS, Algèbre 1\\
\end{itemize}


\vspace{1cm}

On notera $Z(P)$ l'ensemble des racines complexes d'un polynôme, et $d°P$ son degré.\\

Soit $n\in\N^*$ et soit $\Omega_n$ l'ensemble des polynômes de $\R[X]$ tel que
\[P\in\Omega_n \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
d°P=n\\
P\in\Z[X]\\
P\text{ unitaire}\\
z \in Z(P)\Rightarrow 0<|z|\leq 1
\end{array}\right.
\]

La dernière caractérisation de $\Omega_n$ se reformule aussi en disant que les racines de $P$ sont de module inférieur à 1 et que $X$ ne divise pas $P$ ou que $P$ a un terme constant non nul.

\begin{theo}[de \textsc{Kronecker}]
Si $P\in\Omega_n$\\
Alors les racines de $P$ sont racines de l'unité
\end{theo}

\underline{Preuve :}\\
Soit un tel $P$, notons
\begin{eqnarray*}
P & = & X^n + a_1X^{n-1} +\dots + a_{n-1}X + a_n\\
  & = & (X-\alpha_1)\dots(X-\alpha_n)
\end{eqnarray*}

A noter que $a_n\neq0$ et $0<\alpha_i\leq1$. On peut alors utiliser la relation coefficient-racines (se démontre facilement par récurrence sur $n$) :
\[ a_p=(-1)^p\sigma_p(\alpha_1\dots \alpha_n)\qquad\text{avec }\sigma_p(\alpha_1\dots \alpha_n)=\sum_{1\leq i_1<\dots< i_p\leq n}{\alpha_{i_1}\dots \alpha_{i_p}}\]

Les $\sigma_p$ sont appelés polynômes symétriques élémentaires ; on a par exemple
\begin{eqnarray*}
\sigma_1(\alpha_1\dots \alpha_n) & = & \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n\\
\sigma_n(\alpha_1\dots \alpha_n) & = & \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_n
\end{eqnarray*}

Bon, il est temps de rentrer dans le vif du sujet.

\[ |a_p| = \left|\sum_{1\leq i_1<\dots< i_p\leq n}{\alpha_{i_1}\dots \alpha_{i_p}}\right| \leq \sum_{1\leq i_1<\dots< i_p\leq n}{1}= \binom{n}{p}\]

$n$ étant fixé et $a_p$ étant un entier, $a_p$ ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. On ne peut donc faire qu'un nombre fini de combinaisons des $a_p$, majoré (très) grossièrement par
\[2n\left(\max_{1\leq p\leq n}{\binom{n}{p}}\right)\]

Quoi qu'il en soit, $\sharp\left(\Omega_n\right)<\infty$.\\

Pour $k\in\N^*$, notons
\[P_k=(X-\alpha_1^k)\dots(X-\alpha_n^k)\]
Remarquons que $P=P_1$. On va montrer que $P_k\in\Omega_n$ pour tout $k$. Soit donc $k\leq2$. On peut déjà remarquer que $P_k$ est unitaire de degré $n$, et $0<|\alpha_i^k|\leq1$. Il reste à montrer que ses coefficients sont entiers.\\

On va introduire,pour $\lambda\in\C$, $Q_k^\lambda = X^k-\lambda$ et, pour finir, le résultant suivant (de taille $k+n$) :
\[R_k(\lambda)=Res(P,Q_k^\lambda)=\begin{vmatrix}
1& & & &1& & \\
a_1&\ddots& & &0&\ddots& \\
\vdots&\ddots&\ddots& &\vdots&\ddots&1\\
a_n& &\ddots&1&0& &0\\
&\ddots&&a_1&\lambda&\ddots&\vdots\\
&&\ddots&\vdots&&\ddots&0\\
&&&a_n&&&\lambda
\end{vmatrix}\]

On voit bien que $R_k$ est polynomial en $\lambda$ (si l'on préfère, il est assez aisé de raisonner dans $\Z[\lambda]$) et que ses coefficients sont entiers (les $a_p$ étant entiers). Pour conclure, on va exprimer le résultant en fonction des racines des polynômes (on rappelle que $P$ est unitaire et que ses racines sont les $\alpha_i$) :

\[R_k(\lambda)=Res(P,Q_k^\lambda)=\prod_{i=1}^n{Q_k^\lambda(\alpha_i)}=\prod_{i=1}^n{(\alpha_i^k-\lambda)}=(-1)^nP_k(\lambda)\]

Les coefficients de $R_k$ sont entiers, donc ceux de $P_k$ les sont aussi. Donc $P_k\in\Omega_n$.\\

La fin de la démonstration est alors facile. Notons
\[\varphi_i:k\mapsto \alpha_i^k\]
$\Omega_n$ étant un ensemble fini, l'ensemble $\cup_{Q\in\Omega_n}{Z(Q)}$ est lui aussi fini et donc $\varphi_i$ ne peut être injective. Donc il existe des entiers $p$ et $q$ tels que
\[\alpha_i^p=\alpha_i^q\]
Donc $\alpha_i^{p-q}=1$ car $\alpha_i\neq 0$.\\ \qed



















































\end{document}