\documentclass[12pt]{article}

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\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
\newtheorem{definition}{Définition}[section]
\newtheorem{corollaire}{Corollaire}[section]
\newtheorem{lemme}{Lemme}[section]

\newcommand{\func}[5]{
\begin{displaymath}
#1
\left\{
  \begin{array}{rcl}
    #2 & \longrightarrow & #3 \\
    #4 & \longmapsto & #5 \\
  \end{array}
\right.
\end{displaymath}}

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\title{Formes Linéaires et Hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.}
\date{7 novembre 2012}
\author{Stéphane RIVAUD}

\begin{document}
\maketitle

On notera $\mathds{K}$ un corps, et $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$.

\section{Définitions et première propriétés}

\begin{definition}
Une forme linéaire est une application linéaire de $E$ dans $\mathds{K}$. On appelle dual de $E$ l'ensemble des formes linéaires sur $E$, que l'on note $E^*$.
\end{definition}

\textbf{Exemple :}
\begin{itemize}
\item Dans $L^1(0,1)$, l'application $f \mapsto \int_0^1 f(t) dt$ est une forme linéaire.
\item Soit $f: \mathds{R}^n \rightarrow \mathds{R}$ différentiable en $a$, alors $df_a$ est une forme linéaire.\\
\end{itemize}

\textbf{Notation :} Pour $x\in E$, et $\varphi\in E^*$, on note $\langle \varphi, x \rangle := \varphi(x)$. On appelle $\langle.,.\rangle$ le crochet de dualité.\\

\begin{definition}
Un hyperplan $H$ de $E$ est sous-espace vectoriel de dimension $n-1$.\\
\end{definition}

\begin{proposition} \
\begin{enumerate}
\item Soit $\varphi\in E^*$ non nulle, alors $\ker(\varphi)$ est un hyperplan de $E$.
\item Soit $H$ un hyperplan de E, alors il existe $\varphi\in E^*$ telle que $H = \ker(\varphi)$. De plus pour tout $\psi\in  E^*$ :
\[Ker(\psi) = H \Longleftrightarrow \exists \lambda\in\mathds{K}\setminus\{0\}, \; \psi = \lambda \varphi\]
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{corollaire}[Equation d'un hyperplan] \
\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{B} = (e_1,...,e_n)$ une base de $E$, et $a_1,...,a_n\in \mathds{K}$ non tous nuls, alors l'ensemble des $x$ appartenant à $E$ vérifiant : \[ \sum_{i=1}^n a_i x_i = 0 \quad (*)\]
relativement à la base $\mathcal{B}$ est un hyperplan.
\item Tout hyperplan de $E$ admet une équation de la forme $(*)$ qui est unique à constante multiplicative non nulle près.\\
\end{enumerate}
\end{corollaire}






\section{Dualité}

\begin{definition}[Base duale]
Soit $\mathcal{B} = (e_1,...,e_n)$ une base de E. On définie la famille de forme linéaire $\mathcal{B}^*(e_1^*,...,e_n^*)$ par :
\[\langle e_i^*, e_j \rangle = \delta_{ij}\]
La famille $\mathcal{B}^*$ forme une base de $E$ appelée base duale de $\mathcal{B}$. On dit que $\mathcal{B}$ est la base antéduale de $\mathcal{B}^*$.\\
\end{definition}

\textbf{Remarque :} Soit $(e_1^*,...,e_n^*)$ une base de $E^*$, alors il y a bien une unique base antéduale. En effet, si $(e_1,...,e_n)$ et $(e_1',...,e_n')$ sont deux bases antéduale, on a
$\langle e_i^*, e_j-e_j' \rangle = 0$ pour tout $i,j$. Donc par linéarité, pour tout $j$, $e_j-e_j'$ annule toute forme linéaire sur $E$ : c'est donc le vecteur nul. Ce qui permet d'écrire la proposition suivante.

\begin{proposition}
Le choix d'une base $\mathcal{B}$ permet de définir un isomorphisme entre $E$ et $E^*$ :
\[x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \mapsto \sum_{i=1}^n x_i e_i^*\]
\end{proposition}

\textbf{Remarque : }Dans le cas euclidien, on retrouve cet isomorphisme avec le théorème de représentation de Riesz.\\

\begin{definition}[Bidual]
On appelle bidual de $E$ l'ensemble des formes linéaires sur $E^*$, que l'on note $E^{**}$.
\end{definition}

\textbf{Remarque : } Soit $x\in E$, alors l'application $\varphi \mapsto \varphi(x)$ est une forme linéaire sur $E^*$.\\

\begin{theorem}
L'application \func{J :}{E}{E^{**}}{x}{(\varphi \mapsto \varphi(x))}
est un isomorphisme.
\end{theorem}

\textbf{Remarque :}
\begin{itemize}
\item $J$ ne dépend pas du choix d'une base. $E$ s'identifie donc canoniquement avec $E^*$.
\item En dimension infinie, $J$ est toujours injectif.\\
\end{itemize}








\section{Orthogonalité}

\subsection{Par dualité}

\begin{definition}
un vecteur $x\in E$ et une forme linéaire $\varphi \in E^*$ sont dit orthogonaux si : $\langle \varphi , x \rangle = 0$\\
\end{definition}


\begin{definition}
Soit $F \subset E$ une partie de E. On appelle orthogonal de $F$ l'ensemble $F^{\perp} = \{\varphi \in E^* \; | \; \forall x\in F, \; \varphi(x) = 0\}$
\end{definition}

\textbf{Remarque :} Attention, \underline{\underline{$F^{\perp} \subset E^*$}}\\

\begin{proposition}
\begin{enumerate}
\item $ A_1 \subset A_2 \subset E \Longrightarrow A_2^{\perp} \subset A_1^{\perp} \subset E^*$
\item $F^{\perp} = (Vect(F))^{\perp}$ et $F^{\perp}$ est un sev de $E$.
\item Si $F$ est un sev de $E$, alors $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) = \dim(E)$ de plus, $(F^{\perp})^{\perp}$
\end{enumerate}
\end{proposition}

\textbf{Remarque :} Cette dernière égalité se fait via l'isomorphisme $J$.\\

\begin{corollaire}
\begin{enumerate}
\item Soit $ \left(\varphi_i\right)_{1\leqslant i \leqslant p}$ une famille de $E^*$ de rang $r$, alors \[ \bigcap_{i=1}^{p} \ker(\varphi_i)\] est un sev de dimension $n-r$.
\item Réciproquement, si $F$ et un sev de $E$ de dimension $q$, alors il existe $n-q$ hyperplans $H_i = \ker(\varphi_i)$ tels que : \begin{itemize}
\item $ \left(\varphi_i\right)_{1\leqslant i \leqslant p}$ est une famille libre.
\item $ F = \bigcap_{i=1}^{n-q} Ker(\varphi_i) $
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{corollaire}

\textbf{Interprétation :} le sev $F$ peut être vu comme l'ensemble des solutions d'un système de $n-q$ équations à $n$ inconnues, ou comme l'intersection de $n-q$ hyperplans.\\

\textbf{Application : Interpolation de Lagrange}\\
Soit $E = \mathds{K}_n[X]$ et $a_0,...,a_n \in \mathds{K}$ distincts. On définit $ \left(\varphi_i\right)_{0\leqslant i \leqslant n}$ par :
\[ \forall P \in \mathds{K}_n[X] \langle \varphi, P \rangle = P(a_i) \]
La famille $ \left(\varphi_i\right)_{1\leqslant i \leqslant p}$ est une base de $E^*$ dont la base antéduale est formée des polynomes de Lagrange :
\[ L_i = \prod_{j=1,j\neq i}^n \dfrac{X-a_j}{a_i-a_j}\]
On a donc pour tout $P\in\mathds{K}_n[X]$ :
\[ P(X) = \sum_{i=1}^n P(a_i) L_i(X)\]

\subsection{Le cas euclidien}

On munie $E$ du produit scalaire usuel que l'on note
$\langle . , . \rangle$.

\begin{theorem}[de représentation de Riesz]
Soit $\varphi\in E^*$, alors il existe un unique $x\in E$ tel que :
\[ \forall y\in E ,\; \varphi(y) = \langle x,y \rangle \]
\end{theorem}

\textbf{Remarque :} Grâce à ce théorème on peut faire coïncider la notion d'orthogonalité euclidienne et celle introduite précédemment via le dual. On dit que $x$ et $y$ sont orthogonaux si $y$ est orthogonal à la forme linéaire $\langle x,. \rangle$. De plus on comprend d'où vient la notation du crochet de dualité.\\

\begin{definition}
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $\sigma \in \mathcal{L}(E)$ tels que $\sigma_{|F} = \id$ et $\sigma_{|F^{\perp}} = -\id$.
\begin{itemize}
\item si $\dim(F) = n-1$ alors on dit que $\sigma$ est une réflexion par rapport à $F$.
\item si $\dim(F) = n-2$ alors on dit que $\sigma$ est une réflexion par rapport à $F$.
\item dans le cas général, on dit que $\sigma$ est une symétrie orthogonale par rapport à $F$.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{theorem}[Cartan-Dieudonné] \
\begin{enumerate}
\item Les réflexions engendrent $O(E)$ : si $\dim(E) \geqslant 2$, toute application de $O(E)$, s'écrit comme un produit de moins de $n$ réflexions.
\item Les retournements engendrent $SO(E)$ : si $\dim(E) \geqslant 3$, toute application de $SO(E)$ s'écrit comme un produit de moins de $n$ retournement.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Développement.\\
\end{proof}








\section{Transposée d'une application}

\begin{definition}
Soit $f\in \mathcal{L}(E,F)$, on définit $^tf\in \mathcal{L}(E^*,F^*)$ par :
\[ \forall \varphi \in F^*,\; ^tf(\varphi) = \varphi \circ f \]
\end{definition}

\begin{proposition}
Soit $f\in \mathcal{F}(E,F)$, alors :
\[ \forall x \in E,\; \forall \varphi \in F^*, \quad
\langle ^tf(\varphi), x \rangle = \langle \varphi , f(x)\rangle\]
\end{proposition}

\textbf{Remarque :} Soit $(e_1,...,e_q)$ une base de $E$, $(e_1^*,...,e_q^*)$ sa base duale, $(f_1,...,f_p)$ une base de $F$ et $(f_1^*,...,f_p^*)$ sa base duale. Si on applique cette proposition en prenant $x = e_j$ et $\varphi = f_i^*$, on obtient que la matrice de l'application $^tf$ dans les bases $(f_1^*,...,f_p^*)$ et $(e_1^*,...,e_p^*)$ est la transposée de la matrice de $f$ dans les bases $(e_1,...,e_q)$ et $(f_1,...,f_p)$.\\

\begin{corollaire}
\begin{enumerate}
\item L'application qui à $f$ associe $^tf$ est linéaire.
\item On a $^t(^tf) = f$.
\item Si $f\in \mathcal{L}(E,F)$ et $v\in \mathcal{L}(F,G)$ alors $^t(v\circ f) =\, ^tf\circ ^tv$.\\
\end{enumerate}
\end{corollaire}

\begin{proposition}
On a $\im(^tu) = \ker(u)^{\perp}$ et $\ker(^tu) = \im(u)^{\perp}$.
\end{proposition}

\begin{proposition}
Un sev $F$ est stable pas $u$ si et seulement si $F^{\perp}$ est stable par $^tu$.
\end{proposition}

\begin{corollaire}
Si $u\in \mathcal{L}(E)$ et si $F$ est un sev de $E$ $u$-cyclique, i.e. $\exists x \in F, \; F = \{P(u)(x); P\in \mathcal{K}_n[X]\}$\\
alors $F$ possède un supplémentaire stable par $u$.
\end{corollaire}

\textbf{Application : existence des invariants de similitudes d'un endomorphisme}\\









\section{Convexité et hyperplan}

\subsection{Résultats de séparation}

\begin{definition}
Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $A$ est convexe si :
\[\forall x,y\in A ,\; \forall t\in ]0,1[ ,\; tx+(1-t)y \in A \]
\end{definition}

\begin{theorem}[Hahn-Banach]
Soit $A$ un ouvert convexe non vide et $F$ un sev de $E$ tel que $A\cap F = \emptyset$. Alors il existe un hyperplan $H$ contenant $F$ vérifiant $A\cap H = \emptyset$.
\end{theorem}

\textbf{Remarque :} Les hyperplans sont les seuls sous-espaces permettant de séparer un espace vectoriel en deux composantes connexes $C_1$ et $C_2$. On appelle ces deux composantes connexes les demi-espaces délimités par $H$. Les demi-espaces ouverts (resp. fermés) sont $C_1\setminus\{H\}$ et $C_2\setminus\{H\}$ (resp $C_1\cup\{H\}$ et $C_2\cup\{H\}$.

\newpage
\begin{definition}
Soient $A,B$ des parties de $E$ et $H$ un hyperplan.
\begin{enumerate}
\item On dit que $H$ sépare $A$ et $B$ si $A$ est contenu dans l'un et $B$ dans l'autre des demi-espaces fermés délimités par $H$.
\item On dit que $H$ sépare $A$ et $B$ strictement si $A$ est contenu dans l'un et $B$ dans l'autre des demi-espaces ouverts délimités par $H$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}
Soient $A,B$ des ouverts convexes non vides disjoints.
\begin{itemize}
\item Si $A$ est ouvert, alors il existe un hyperplan $H$ qui sépare $A$ et $B$.
\item Si $A$ et $B$ sont ouverts, alors il existe un hyperplan $H$ qui sépare $A$ et $B$ strictement.
\item Si $A$ est compact et $B$ est fermé, alors il existe un hyperplan $H$ qui sépare $A$ et $B$ strictement.
\item Si $A$ et $B$ sont fermés, alors  il existe un hyperplan $H$ qui sépare $A$ et $B$ strictement.\\
\end{itemize}
\end{theorem}

\subsection{Hyperplan d'appui}

Dans cette partie, nous mettons en lumière quelques résultats sur les convexes, et en particulier leur frontière, grâce à la notion d'hyperplan d'appui.

\begin{definition}
Soit $A\subset E$ et $M\in A$. On appelle hyperplan d'appui de $A$ en $M$ un hyperplan qui sépare $A$ et $M$.
\end{definition}

\begin{proposition}
Si $A$ est un convexe fermé, tout point de sa frontière appartient à au moins un hyperplan d'appui.
\end{proposition}

\begin{theorem}
Soit $A$ un fermé d'intérieur non vide. Si $A$ possède un hyperplan d'appui en tout point de sa frontière, alors $A$ est convexe.\\
\end{theorem}

\begin{definition}
Soit $A$  un convexe. Un point $M\in A$ est dit extrémal si:
\[\forall P,Q\in A,\; \forall t\in ]0,1[,\quad A = tP + (1-t)Q \Rightarrow A = P \text{ ou } A = Q\]
On note $\ex(A)$ l'ensemble des points extrémaux de $A$.\\
\end{definition}

\begin{theorem}[Krein-Milmann]
Soit $A$ un convexe compact non vide, alors $A$ est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux :
\[A = \conv(\ex(A))\]
\end{theorem}



\textbf{Bibliographie :}
\begin{itemize}
\item Jacques Celier : Algèbre linéraire, des bases aux applications
\item Henry Roudier : Algèbre Linéaire (explique bien, pas mal d'exos pouvant servir de développement)
\item Rémi Goblot : Algèbre Linéaire (quelques exemples, mais c'est tout...)
\item MER : Le livre jaune pour le théorème de Cartan-Dieudonné
\end{itemize}

\end{document}