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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{rmq}{Remarque}
\newtheorem{coro}{Corollaire}

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\textheight 24.7cm

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Leçon 241 : Suites et séries de fonctions - exemples, contre-exemples.}

\bigskip

{\Large \textsc{Mélinand} Benjamin, \textsc{Pierre} Olivier}
\end{center}

\bigskip

Dans tout ce qui suit, on considérera  pour simplifier des fonctions à valeurs dans $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ \mbox{ou $\mathbb{C}$.}

\section{Modes de convergence, propriétés}

\subsection{Suites de fonctions}

\begin{definition} Soient $f_{n}, f : X \rightarrow \mathbb{K}$.

On dit que la suite $(f_{n})_{n\geq 0}$ converge simplement vers $f$ si pour tout $x\in X$, la suite $(f_{n}(x))_{n\geq 0}$ converge.

La suite $(f_{n})_{n\geq 0}$ converge uniformément vers $f$ si :
$$ \forall\varepsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n\geq N, \forall x\in X, |f_{n}(x)-f(x)|\leq \varepsilon.$$
\end{definition}

\begin{rmq}
La convergence uniforme implique la convergence simple.
La réciproque est fausse : considérer la suite de fonctions $f_{n}(x)=\frac{x}{x+n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, et $x\in\mathbb{R}_{+}$.
\end{rmq}

\begin{prop}
La convergence uniforme d'une suite $(f_{n})$ est équivalente au critère de Cauchy uniforme :
$$ \forall\varepsilon >0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall m,n\geq N, \forall x\in X, |f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon. $$
\end{prop}

\subsection{Continuité, dérivabilité}

Ici, $X$ sera un espace métrique.

\begin{thm}
Soit $f_{n} : X\rightarrow\mathbb{K}$ une suite de fonctions continues en $a\in X$, et qui converge uniformément vers $f$. Alors $f$ est continue en $a$, et de plus :
$$ \lim_{x\to a}\lim_{n\to +\infty} f_{n}(x) = \lim_{n\to +\infty}\lim_{x\to a} f_{n}(x). $$
\end{thm}

\begin{rmq}
Il suffit que $(f_{n})$ converge uniformément au voisinage de $a$.
\end{rmq}

\paragraph*{Contre-exemple :}

Soit $f_{n}(x)=x^{n}$ pour $x\in [0,1]$ et $n\in\mathbb{N}$. Alors $\lim_{n\to +\infty} f_{n}(x) = 0$ pour tout $0\leq x <1$, mais $\lim_{n\to +\infty} f_{n}(1) = 1$. On ne peut donc avoir convergence uniforme.

\begin{thm}{\textbf{(Dini)}}
Soient $X$ un compact de $\mathbb{R}$, $(f_{n}$ une suite de fonctions continues convergent simplement vers $f$ continue. On suppose en outre que pour tout $n$, $f_{n}\leq f_{n+1}$.

Alors $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $X$.
\end{thm}

\paragraph*{Exemple :}

$f_{n}(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \xrightarrow[n\to +\infty]{} \mathrm{e}^{x}$ sur $[0,1]$.

\begin{thm}
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, et $f_{n} : I \rightarrow \mathbb{K}$. On suppose que les $f_{n}$ sont dérivables sur $I$, avec $(f_{n}')$ convergent uniformément vers une fonction $g$, et qu'il existe $a\in I$ tel que $(f_{n}(a))$ converge.

Alors la suite $(f_{n})$ converge uniformément vers une fonction dérivable $f$, avec de plus $f'=g$.
\end{thm}

\paragraph*{Contre-exemple :} 

$f_{n}(x) = \frac{\sin(n^{2}x)}{n^{2}}$.

\subsection{Séries de fonctions}

\begin{definition}
On dit que $\sum f_{n}$ converge simplement vers $f$ sur $X$ si la suite des sommes partielles $(\sum_{0\leq k\leq n} f_{k})$ converge simplement.
\end{definition}

\begin{definition}
On dit que $\sum f_{n}$ converge uniformément vers $f$ sur $X$ si $\sum f_{n}$ converge simplement, et si la suite des restes $(\sum_{k\geq n} f_{k})$ converge uniformément vers 0.
\end{definition}

\begin{definition}
On dit que $\sum f_{n}$ converge normalement vers $f$ sur $X$ si la série $\sum \| f_{n} \|_{\infty}$ converge.
\end{definition}

\begin{rmq}
La convergence normale implique la convergence uniforme. La réciproque est fausse : considérer $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^{n}}{n} x^{n}$ sur $[0,1]$.
\end{rmq}

\begin{rmq}
Il est important de noter qu'en considérant la suite des sommes partielles, on obtient les mêmes théorèmes de continuité et de dérivabilité sous la signe somme.
\end{rmq}

\paragraph*{Contre-exemples :}

\begin{itemize}
\item La série $\sum_{n\geq 1} \frac{\sin(nx)}{n}$ converge uniformément sur tout compact de $]0,2\pi[$, mais n'est pas continue en 0.
\item $x\mapsto \sum_{n\geq 0} \frac{d(4^{n}x,\mathbb{Z})}{4^{n}}$ définit une fonction continue sur $\mathbb{R}$ mais nulle part dérivable.
\end{itemize}

\section{Intégrabilité de suites et de séries de fonctions}

Dans cette section, $(X,\mathcal{A},\mu)$ est un espace mesuré.

\subsection{Convergences dans un espace mesuré}

\begin{definition}
On dit que $(f_{n})$ converge $\mu$-presque partout vers $f$ sur $X$, s'il existe $N\subset X$ négligeable (\textit{i.e.} inclus dans un ensemble de mesure nulle), tel que $(f_{n})$ converge simplement vers $f$ sur $X\backslash N$.
\end{definition}

\begin{definition}
On dit que $(f_{n})$ converge vers $f$ dans $L^{p}(\mu)$ (où $1\leq p\leq +\infty$), si $f,f_{n}\in L^{p}(\mu)$, et si $\lim_{n\to +\infty} \| f_{n} - f \|_{L^{p}} = 0$.
\end{definition}

\begin{rmq}
La convergence $L^{p}$ n'implique pas la convergence $\mu$-presque partout. Considérer la suite de fonctions $(f_{n})_{n\geq 1}$ définies par :
$$ f_{n}(x) = \mathds{1}_{\left[ \frac{k}{2^{N}}, \frac{k+1}{2^{N}}\right]}(x), \text{ avec } 2^{N}\leq n+1 < 2^{N+1}, \text{ et } k = n-2^{N} + 1.$$
\end{rmq}

\subsection{Théorèmes principaux}

\begin{thm}\textbf{(Beppo Levi)}

Soit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions de $L^{1}(\mu)$, telle que $\displaystyle \sup_{n\geq 0} \int_{X} f_{n} d\mu < \infty$. Alors $(f_{n})$ converge $\mu$-presque partout vers une fonction $f\in L^{1}(\mu)$, et de plus $\lim_{n\to +\infty} \| f - f_{n} \|_{L^{1}} = 0$.
\end{thm}

\begin{thm}\textbf{(Fatou)}

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions positives de $L^{1}(\mu)$, telle que $\displaystyle \sup_{n\geq 0} \int_{X} f_{n} d\mu < \infty$. Alors :
$$ \int_{X} \liminf_{n} f_{n} \leq \liminf_{n} \int_{X} f_{n}.$$
\end{thm}

\paragraph*{Contre-exemple :}

On peut avoir inégalité stricte : considérer $f_{n} = n \mathds{1}_{\left[ 0,\frac{1}{n} \right]}$.

\begin{rmq}
La convergence $\mu$-presque partout n'implique pas la convergence $L^{p}$ (pour $p<\infty$).
\end{rmq}

\begin{thm}\textbf{(Convergence dominée)}

Soit $(f_{n})_{n}$ une suite de fonctions de $L^{1}(\mu)$, convergent $\mu$-presque partout vers $f$. S'il existe $g\in L^{1}(\mu)$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $|f_{n}(x)|\leq g(x)$ pour $\mu$-presque tout $x$, alors $$\lim_{n\to +\infty} \| f - f_{n} \|_{L^{1}} = 0.$$
\end{thm}

\paragraph*{Exemple :} On peut montrer les égalités suivantes :
$$ \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x}\ln(x) dx = \lim_{n\to +\infty} \int_{0}^{n} \left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} \ln(x) dx = -\gamma.$$

Bien que la convergence $L^{p}$ n'implique pas la convergence $\mu$-presque partout ($p<\infty$), on peut cependant s'y ramener, comme le montre le théorème ci-après.

\begin{thm}
Soient $1\leq p < +\infty$, et $(f_{n})_{n}$ une suite de fonctions de $L^{p}(\mu)$, qui converge vers $f$ en norme $L^{p}$. Alors il existe une sous-suite $(f_{n_{k}})_{k}$ convergent $\mu$-presque partout vers $f$.
\end{thm}

De même, sous certaines hypothèses, la convergence $\mu$-presque partout peut entraîner la convergence $L^p$.

\begin{thm}\textbf{(Brezis-Lieb)}

Soit $(f_{n})_{n}$ une suite de fonctions de $L^{p}(\mu)$ (pour $1\leq p < +\infty$) bornée dans $L^{p}$ (\textit{i.e.} $\sup_{n} \| f_{n} \|_{p} < +\infty$). Si $(f_{n})_{n}$ converge $\mu$-presque partout vers $f$, alors $f\in L^{p}(\mu)$, et on a :
$$ \lim_{n\to +\infty} \|f_{n}\|_{p}^{p} - \|f_{n}-f\|_{p}^{p} = \|f\|_{p}^{p}.$$
\end{thm}

Nous en déduisons le corollaire suivant.

\begin{coro}
Soit $(f_{n})_{n}$ une suite de $L^{p}(\mu)$ qui converge $\mu$-presque partout vers $f$, avec $\|f_{n}\|_{p} \xrightarrow[n\to +\infty]{} \|f\|_{p}^{p}$. Alors $(f_{n})_{n}$ converge vers $f$ en norme $L^p$.
\end{coro}

Nous disposons donc d'une condition nécessaire et suffisante pour que la convergence $\mu$-presque partout entraîne la convergence $L^{p}$.

\subsection{Interversion somme et intégrale}

\begin{thm}\textbf{(Fubini)}

Soit $(f_{n})_{n}$ une suite de fonctions de $L^{1}(\mu)$, telle que la série $\sum \|f_{n}\|_{1}$ converge. Si $f$ désigne la somme de la série $\sum f_{n}$, on a alors $f\in L^{1}(\mu)$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} \int_{X} f_{n} = \int_{X} \sum_{n\geq 0} f_{n}.$ 
\end{thm}

\begin{thm}
On considère ici $f_{n} : [a,b]\rightarrow \mathbb{K}$, continue sur $[a,b]$ (pour tout $n\in\mathbb{N}$). Si $(f_{n})_{n}$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$, alors :
$$ \int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n\to +\infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x)dx.$$
\end{thm}

\paragraph*{Contre-exemple :} Ce résultat est faux si l'intervalle considéré n'est plus compact. Considérer une suite de fonctions "triangles" s'aplatissant de plus en plus sur $\mathbb{R}$ et donc l'aire est constante égale à 1 :
$$ f_{n}(x) = 
\left\{
\begin{array}{l l}
\frac{x}{n^{2}} + \frac{1}{n} & \text{ si } x\in [-n,0], \\
-\frac{x}{n^{2}} + \frac{1}{n} & \text{ si } x\in [0,n], \\
0 & \text{ sinon. }
\end{array}
\right. $$

\section{Séries entières, fonctions holomorphes.}

\subsection{Séries entières}

Dans ce paragraphe, $(a_{n})_{n\geq 0}$ désignera une suite de nombres complexes, et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{C}$.

\begin{thm}\textbf{(Lemme d'Abel)}

S'il existe $z_{0}\in\mathbb{C}$ tel que la suite $(a_{n}z_{0}^{n})_{n}$ soit bornée, alors la série $\sum_{n\geq 0} a_{n}z^{n}$ converge normalement sur tout disque fermé $\overline{D}(0,r)$, où $0<r<|z_{0}|$.
\end{thm}

\begin{definition}
Une fonction $f : \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ est dite développable en série entière (DSE) au voisinage $V_{a}$ d'un point $a$ de $\Omega$ s'il existe une suite de nombres complexes $(a_{n})$ telle que :
$$\forall z\in V_{a}, f(z) = \sum_{n\geq 0} a_{n} (z-a)^{n}.$$
\end{definition}

\paragraph*{Exemple :} $\exp(z) := \sum_{n\geq 0} \frac{z^{n}}{n!}$ définit une fonction entière sur $\mathbb{C}$.

\begin{prop}
Si $f$ est DSE en $a$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $V_{a}$ et $a_{n} = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$.
\end{prop}

\paragraph*{Contre-exemple :} $f(x) = \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\mathds{1}_{\mathbb{R}_{+}^{*}}(x)$ est $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ mais non DSE en $0$.

\begin{thm}\textbf{(Théorème taubérien de Hardy-Littlewood : premier développement)}

Soit $(a_{n})_{n\geq 0}$ une suite de réels telle que $a_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ en $+\infty$. Si la fonction $F(x):=\sum_{n\geq 0} a_{n}x^{n}$ est bien définie pour $x\in [0,1[$, et vérifie $\lim_{x\to 1_{-}} F(x) = s$, alors la série $\sum_{n\geq 0} a_{n}$ converge et vaut $s$.
\end{thm}

\subsection{Fonctions holomorphes}

\begin{definition}
Une fonction $f : \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ est dite holomorphe si elle est $\mathbb{C}$-dérivable.
\end{definition}

\begin{prop}\textbf{(Formule de Cauchy)}

Soient $a\in\Omega$, et $r>0$ tel que $D(a,r)\subset\Omega$. Alors $f$ holomorphe sur $\Omega$ satisfait la formule de Cauchy :
$$ \forall z\in D(a,r), f(z) = \int_{\mathcal{C}(a,r)} \frac{f(\omega)}{z-\omega}d\omega. $$
\end{prop}

\begin{coro}
Si $f$ est holomorphe sur $\Omega$, alors $f$ est DSE en chacun de ses points.
\end{coro}

\begin{thm}
Soient $f_{n},f : \Omega\rightarrow\mathbb{C}$, avec les $f_{n}$ holomorphes sur $\Omega$. Si $(f_{n})_{n}$ converge uniformément sur tout compact de $\Omega$ vers $f$, alors $f$ est holomorphe sur $\Omega$, et pour tout $k\in\mathbb{N}$, la suite $(f_{n}^{(k)})_{n}$ converge uniformément vers $f^{(k)}$ sur tout compact.
\end{thm}

\paragraph*{Exemple :}

La fonction $\zeta(s) = \sum_{n\geq 0} \frac{1}{n^{s}}$ est holomorphe sur $\{s\in\mathbb{C}, \Re(s)>1\}$.

\section{Séries de Fourier}

On se placera sur le tore $\mathbb{T} = \mathbb{R}\diagup 2\pi\mathbb{Z}$.

\subsection{Définitions}

\begin{definition}

On dit que $\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb{T})$ si $\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|dt < +\infty$.

On notera $\displaystyle e_{n} : t \mapsto \mathrm{e}^{int}$ pour $n\in\mathbb{Z}$.

Les coefficients de Fourier de $f\in L^{1}(\mathbb{T})$ sont définis par $\displaystyle \hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\mathrm{e}^{-int} dt$.
\end{definition}

\begin{prop}\textbf{(Lemme de Riemann-Lebesgue)}

Si $f\in L^{1}(\mathbb{T})$, alors $\lim_{n\to +\infty} \hat{f}(n) = 0$.
\end{prop}

\subsection{Théorèmes principaux}

\begin{definition}
On définit les sommes partielles de Fourier associées à $f$ par $\displaystyle S_{n}(f) = \sum_{k=-n}^{n} \hat{f}(k)e_{k}$.

Les sommes partielles de Fejér associées à $f$ sont $\displaystyle \sigma_{n}(f) = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} S_{k}(f)$.
\end{definition}

\begin{thm}\textbf{(Théorème de Dirichlet)}

Soit $f\in\mathcal{C}_{m}^{1}(\mathbb{T})$ (\textit{i.e.} de classe $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux). Alors $(S_{n}(f))$ converge simplement vers $\tilde{f} : t \mapsto \frac{1}{2}(f(t_{+}) + f(t_{-}))$.
\end{thm}

\paragraph*{Exemple :}

Calcul de la série $\sum_{n\geq 0} \frac{1}{n^{2}}$ à l'aide de $f(t) = \frac{1-t^{2}}{\pi^{2}}$.

\begin{thm}\textbf{(Fejér)}

Si $f\in\mathcal{C}(\mathbb{T})$, alors $(\sigma_{n}(f))_{n}$ converge uniformément vers $f$.
\end{thm}

\begin{coro}
Les polynômes trigonométriques sont denses dans $\mathcal{C}(\mathbb{T})$.
\end{coro}

\begin{prop}
L'application $\mathcal{F} : L^{1}(\mathbb{T})\rightarrow \mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$ qui à $f$ associe la suite de ses coefficients de Fourier $(\hat{f}(n))_{n}$ est injective.
\end{prop}

\begin{prop}
Soit $f\in L^{1}(\mathbb{T})$ telle que $\sum_{n\in\mathbb{Z}} |\hat{f}(n)| < \infty$. Alors $f$ est égale à la série de Fourier et est continue.
\end{prop}

\paragraph*{Application : Formule sommatoire de Poisson (deuxième développement)}
$\\$

Soit $f\in\mathcal{C}(\mathbb{R})\cap L^{1}(\mathbb{R})$ telle qu'il existe $M>0$, $\alpha >1$, de façon à ce que $\displaystyle |f(x)|\leq \frac{1}{(1+|x|)^{\alpha}}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. Supposons que $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{Z}} |\hat{f}(n)| < \infty$, alors :
$$ \sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{f}(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} f(n).$$

\paragraph*{Exemple :}

On définit la fonction $\theta(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathrm{e}^{-\pi n^{2} t}$ pour $t>0$.

Alors $\displaystyle \theta(t) = \frac{1}{\sqrt{t}}\theta\left(\frac{1}{t}\right)$.

\subsection{Théorie $L^2$}

\begin{thm}
L'espace $L^{2}(\mathbb{T})$ est hilbertien dont une base hilbertienne est donnée par $(e_{n})_{n\in\mathbb{Z}}$.
\end{thm}

\begin{coro}
Pour tout $f\in L^{2}(\mathbb{T})$, on a $S_{N}(f) \xrightarrow[n\to +\infty]{L^{2}} f$.
\end{coro}

\paragraph*{Exemple :}

La fonction $\sum_{n\geq 0} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} e_{n}$ n'est pas dans $L^{2}(\mathbb{T})$ car ses coefficients de Fourier ne sont pas de carré sommables.
\end{document}