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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rmq}{Remarque}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\Large Lemme de Morse.
\end{center}

\medskip

Réference : \emph{Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, p354}

\medskip

\begin{lem} \bsc{Morse}

Soit $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^3$, $U$ ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine. On suppose que $0$ est un point critique non généré i.e. $Df(0)=0$ et $D^2f(0)$ non dégénérée de signature $(p,n-p)$. 

Alors il existe $\varphi:x\mapsto u=(u_1,\dots,u_n)$ difféomorphisme entre deux voisinages ouverts de $0$ inclus dans $\mathbb{R}^n$ tel que $\varphi(0)=0$ et $f(x)-f(0)=u_1^2+\dots+u_p^2-u_{p+1}^2-\dots-u_n^2$.
\end{lem}
\begin{proof}
Par la formule de Taylor à reste intégral, nous avons \[ \begin{array}{rcl} f(x)-f(0) & = & \displaystyle Df(0).x+\int_0^1{(1-t)D^2f(tx).(x,x)\mathrm{d}t} \\ &= & ^{t}x\underbrace{\int_0^1{(1-t)D^2f(tx)\mathrm{d}t}}_{Q(x)}x \\ \end{array} \]
avec $Q$ symétrique (par le thoérème de Schwarz car $f$ est deux fois différentiable) et de classe $\mathcal{C}^1$ (par le théorème de dérivation sous le signe intégral et $f\in\mathcal{C}^3$).

Nous avons alors besoin du lemme suivant : 

\begin{lem}
Notons $\mathcal{S}$ le sous espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices symétriques. Soit $A_0\in\mathcal{S}$. Alors pour tout $A$ dans un voisinage de $A_0$, il existe $M\in GL_n(\mathbb{R})$ telle que $A=\! ^{t}MA_0M$ avec $M$ qui dépend de façon $\mathcal{C}^1$ de $A$.
\end{lem}
\begin{proof}
Soit $\phi$ : $\begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) &\rightarrow &\mathcal{S} \\ M &\mapsto & ^{t}MA_0M \end{array}$. C'est un polynôme en $M$ donc $\phi$ est de classe $\mathcal{C}^1$.
Pour $H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, \[ \begin{array}{rcl} \phi(I+H) &= &A_0 +\! ^{t}HA_0 + A_0H + \! ^tA_0H \\ &= &\phi(I) + \! ^t(A_0H)+A_0H+o(\left\|H\right\|) \ (\texttt{car } A_0\in\mathcal{S}) \end{array}.  \]
Ainsi $D\phi(I).H=\! ^t(A_0H)+A_0H$. Son noyau est l'ensemble des $H$ telle que $A_0H$ est antisymétrique (notons désormais $\mathcal{A}$ l'ensemble des matrices antisymétriques de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$). Elle est surjective car pour $A\in\mathcal{S}, D\phi(I)(\frac{1}{2}A_0^{-1}A)=A$.

Comme $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})=\mathcal{S}\oplus\mathcal{A}$, on a également $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})=\texttt{Ker}D\phi(I)\oplus F$ où $F=\left\{M,A_0M\in\mathcal{S}\right\}$. On a $I\in F$. Soit $\psi=\phi |_F$. $D\psi(I)=D\phi(I)|_F$ est bijective car $\textrm{Ker}D\phi(I)\cap F=\left\{0\right\}$.

Par le théorème d'inversion locale on a l'existence d'un voisinage de $I$ dans $F$ (que l'on peut supposer inclus dans $GL_n(\mathbb{R})$) tel que $\psi
$ soit un difféomorphisme de classe $\mathcal{C}^1$ de $U$ sur $V=\psi(U)$. Ainsi $V$ est un voisinage de $A_0=\psi(I)=\phi(I)$ dans $\mathcal{S}$. 

Cela signifie que $\forall A\in V, \exists ! M\in U, A=\! ^tMA_0M$. De plus $M=\psi^{-1}(A)$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ de $A$.

\end{proof}

D'après ce lemme, il existe $M(x)\in GL_n(\mathbb{R})$ fonction de classe $\mathcal{C}^1$ de $x$ au voisinage de $0$ dans $\mathbb{R}^n$ telle que $Q(x)=\! ^tM(x)Q(0)M(x)$. Ainsi, $f(x)-f(0)=\! ^tyQ(0)y$ avec $y=M(x)x$.

Or $\displaystyle Q(0)=\int_0^1{(1-t)D^2f(0)\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}D^2f(0)$ qui est de signature $(p,n-p)$. Par le théorème de réduction des formes quadratiques sur $\mathbb{R}$, il existe $A\in Gl_n(\mathbb{R})$, $y=Au$ et $ ^tyQ(0)y=u_1^2+\dots+u_p^2-u_{p+1}^2-\dots-u_n^2$.

$x\mapsto u=A^{-1}M(x)x$ a pour différentielle à l'origine $A^{-1}M(0)\in GL_n(\mathbb{R})$. Par le théorème d'inversion locale, c'est un difféomorphisme entre deux voisinages de l'origine dans $\mathbb{R}^n$.

\end{proof}


\end{document}