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\newtheorem*{theo}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem*{dfn}{D\'efinition}
\newtheorem*{pro}{Proposition}
\def\ex{\noindent\textbf{Exemple}}

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\title{Liste des leçons}
\date{5 avril 2011}
\author{Pierre Monmarché}
\makeindex
\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
 
\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Leçon 101 -- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} 
Des exemples de nature différente doivent être présentés : actions
sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel, sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les
exemples issus de la géométrie ne manquent pas. Par ailleurs, il ne faut pas confondre exemples et 
remarques générales. Les actions naturelles de $PGL(2, \mathbb{F}_q )$ sur les droites du plan donnent des injections
intéressantes pour q = 2, 3.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 103 -- Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} 
Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions.
La notion de produit semi-direct n’est plus au programme, mais lorsqu’elle est utilisée il faut
savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits 
apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). Il faudrait savoir par exemple que
\begin{itemize}
 \item tout morphisme de source un groupe simple est soit injectif soit trivial ;
\item dans un groupe simple, toute réunion de classes de conjugaison non triviale engendre le groupe (par
exemple les éléments de la forme $x^2yx$) ;
\item tout morphisme d’un groupe G vers un groupe abélien se factorise via $G^{ab} := G/D(G)$.
\end{itemize}




\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 104 -- Groupes finis. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les exemples doivent figurer en bonne place dans cette leçon.
On peut par exemple étudier les groupes de symétries $\mathcal{A}_4 , \mathcal{S}_4 , \mathcal{A}_5$ et relier sur ces exemples 
géométrie et algèbre. La structure des groupes abéliens finis doit être connue.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 105 -- Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le groupe symétrique n’est pas spécialement plus 
facile à comprendre que les autres groupes. Il faut relier rigoureusement les notions d’orbites et 
d’action de groupe et savoir décomposer une permutation en cycles disjoints. Des dessins ou des graphes
illustrent de manière commode ce que sont les permutations. Par ailleurs un candidat qui se propose
de démontrer que tout groupe simple d’ordre 60 est isomorphe à $\mathcal{A}_5$ devrait aussi montrer que $\mathcal{A}_5$ est
simple.
L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule,
l’objet d’un développement.
Comme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s’intéresser aux automorphismes du
groupe symétrique. Les applications du groupe symétrique ne concernent pas seulement les polyèdres réguliers.


\subsection*{Idées pour le plan :}

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\section{Leçon 106 -- Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il faut savoir réaliser S n dans GL(n, R) et faire le lien entre signature et déterminant.
Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur GL(E)
Il faudrait que les candidats sachent faire correspondre, sous-groupes et noyaux ou stabilisateurs
de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur
une décomposition en somme directe, etc.). A quoi peuvent servir des générateurs du groupe GL(E) ?
Qu’apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l’oral.


\subsection*{Idées pour le plan :}

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\section{Leçon 107 -- Représentations et caractères d'un groupe fini sur un C-espace vectoriel.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Leçon nouvelle.

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 108 -- Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Peu de candidats voient l’utilité des parties 
génératrices dans l’analyse des morphismes de groupes.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 109 -- Anneaux Z/nZ. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Cette leçon classique demande toutefois une préparation minutieuse. Tout d’abord
n n’est pas forcément un nombre premier. Il serait bon de connaître les sous-groupes de Z/nZ et les
morphismes de groupes de Z/nZ dans Z/mZ.
Bien maîtriser le lemme chinois et sa réciproque. Distinguer clairement propriétés de groupes addi-
tifs et d’anneaux. Connaître les automorphismes, les nilpotents, les idempotents. Enfin, les candidats
sont invités à rendre hommage à Gauss en présentant quelques applications arithmétiques des an-
neaux Z/nZ, telles l’étude de quelques équations diophantiennes bien choisies.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 110 -- Nombres premiers. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il faut savoir si 113 ou 89 sont des nombres premiers ! Attention aux choix des développe-
ments, ils doivent être pertinents (l’apparition d’un nombre premier n’est pas suffisant !). La réduction
modulo p n’est pas hors-sujet et constitue un outil puissant pour résoudre des problèmes arithmé-
tiques simples. La répartition des nombres premiers est un résultat historique important, qu’il fau-
drait citer. Sa démonstration n’est bien-sûr pas exigible au niveau de l’Agrégation.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 111 -- Anneaux principaux. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} On peut aussi donner des exemples d’anneaux non principaux.
Les plans sont trop théoriques. Il est possible de présenter des exemples d’anneaux principaux 
classiques autres que Z et K[X ], accompagnés d’une description de leurs irréductibles. Les applications
en algèbre linéaire ne manquent pas, il serait bon que les candidats les illustrent.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 112 -- Corps finis. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Un candidat qui étudie les carrés dans un corps fini doit savoir aussi 
résoudre les équations de degré 2. Les constructions des corps de petit cardinal doivent avoir été 
pratiquées. Les injections des divers $\mathbb{F}_q$ doivent être connues.
Le théorème de Wedderburn ne doit pas constituer le seul développement de cette leçon. En 
revanche, les applications des corps finis ne doivent pas être négligées. Le théorème de l’élément 
primitif, s’il est énoncé, doit pouvoir être utilisé.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 113 -- Groupes des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les
propriétés des polynômes cyclotomiques doivent être énoncées. Leur irréductibilité sur Z doit être
maîtrisée. Il est tout à fait possible de parler d’exponentielle complexe, de théorème du relèvement
ou de séries de Fourier tout en veillant à rester dans le contexte de la leçon.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 114 -- Anneau des séries formelles. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} C’est une leçon qui doit être illustrée par de nombreux
exemples et applications ; combinatoire, calcul des sommes de Newton, relations de récurrence, etc.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 116 -- Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les appli-
cations ne concernent pas que les corps finis. Il existe des corps algébriquement clos de 
caractéristique nulle autre que C. Un polynôme réductible n’admet pas forcément de racines. Il est instructif de
chercher des polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\mathbb{F}_2$ .


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 117 -- Algèbre des polynômes à n indéterminées (n $\geq$ 2). Polynômes symétriques. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} La leçon ne peut se concentrer
exclusivement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés.
Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai sur Z. 
L’algorithme peut être présenté sur un exemple. Il est indispensable de savoir démontrer que le lieu des
zéros d’un polynôme non-nul de R[X 1 , ..., X n ] est d’intérieur vide dans $\mathbb R^n$.
Les applications aux quadriques, aux relations racines cœfficients ne doivent pas être négligées. On
peut faire agir le groupe GL(n, R) sur les polynômes de degré inférieur à 2.
Il faut connaître la structure de l’anneau des polynômes symétriques et quelques critères de divisibi-
lité dans les anneaux pour répondre à l’irréductibilité du déterminant.
Les candidats semblent ignorer la propriété universelle des anneaux de polynômes ou, lorsqu’ils la
mentionnent, sont incapables de s’en servir pour construire des morphismes d’anneaux (e.g.
$C[X,Y]/<Y^2 - X > \simeq C[T]$ ou la construction des k-morphismes K $\rightarrow$ k pour une extension algébrique
K /k).

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 118 -- Exemples d'utilisation de la notion de dimension d'un espace vectoriel.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} 

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 119 -- Exemples d'actions de groupes sur des espaces de matrices.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Cette leçon n’a pas souvent été prise, elle
demande un certain recul.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 120 -- Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} C’est une leçon qui contrairement aux apparences est de-
venue difficile pour les candidats. Il faut absolument la préparer avec méthode. Nombre d’entre eux
n’ont pas été capable de donner des réponses satisfaisantes à des questions élémentaires comme : un
sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie, est-il aussi de dimension finie ?


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 123 -- Déterminant. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il faut que le plan soit cohérent ; si le déterminant n’est défini que sur R ou C il est
délicat de définir det(A − X I n ) avec A une matrice carrée. L’interprétation du déterminant en terme
de volume est essentielle.
Le jury ne peut se contenter d’un Vandermonde ou d’un déterminant circulant ! Le résultant et les 
applications simples à l’intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver
leur place dans cette leçon. D’une manière générale on attend pendant le développement l’illustration
d’un calcul ou la manipulation de déterminants non triviaux.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 124 -- Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Comme 
chaque année, les candidats ne prêtent pas attention au libellé du sujet. Cette leçon est clairement 
différente de la leçon 129. Les polynômes d’un endomorphisme ne sont pas tous nuls ! Il faut consacrer
une courte partie de la leçon à l’algèbre K [u], connaître sa dimension sans hésiter. Le jury souhaiterait
voir certains liens entre réduction et structure de cette algèbre K [u]. Le jury ne souhaite pas
avoir un catalogue de résultats autour de la réduction, mais seulement ce qui a trait aux polynômes
d’endomorphismes. Il faut bien préciser que dans la réduction de Dunford, les composantes sont des
polynômes en l’endomorphisme.
L’aspect applications est trop souvent négligé.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 125 -- Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les candidats
doivent s’être interrogés sur les propriétés de l’ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. 
Des études de cas détaillées sont les bienvenues.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 126 -- Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il faut pouvoir donner des exemples naturels d’endomorphismes
diagonalisables et des critères. Le calcul de l’exponentielle d’un endomorphisme diagonalisable est
immédiat une fois que l’on connaît les valeurs propres et ceci sans diagonaliser la matrice.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 127 -- Exponentielle de matrices. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} C’est une leçon difficile et ce n’est pas une leçon d’analyse. Il faut toutefois 
pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. Les questions de surjectivité
ou d’injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = [-\infty, 1 ; 0,-\infty]$
est-elle dans l’image
de exp(Mat(2,R)) ? Qu’en est-il de la matrice blocs $B = [A , 0 ; 0, A]$ ?
La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de exp(A) doit être connue.
Les groupes à un paramètre peuvent trouver leur place dans cette leçon. On peut s’interroger si ces
sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de GL(n, R). L’étude du logarithme (quand il est
défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra
invoquer le calcul sur les développements limités.
Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l’essentiel de la
leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique.
Les notions d’algèbres de Lie ne sont pas au programme de l’Agrégation, on conseille de n’aborder
ces sujets qu’à condition d’avoir une certaine solidité.


\subsection*{Idées pour le plan :}

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\section{Leçon 128 -- Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il est possible de mener une leçon
de bon niveau, même sans la décomposition de Jordan à l’aide des noyaux itérés.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 130 -- Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} C’est une leçon transversale. La notion de 
signature doit figurer dans la leçon. On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes 
hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d’un produit hermitien définissent des structures
sur l’espace vectoriel réel sous-jacent.


\subsection*{Idées pour le plan :}

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\section{Leçon 131 -- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le candidat ne doit pas se contenter de travailler
sur R et ne doit pas négliger l’interprétation géométrique des notions introduites (lien entre coniques,
formes quadratiques, cônes isotropes) ou les aspects élémentaires (par exemple le discriminant de
l’équation $ax^2 +bx +c = 0$ et la signature de la forme quadratique $ax^2 +bxy +c y^2$ ). On ne peut se limi-
ter à des considérations élémentaires d’algèbre linéaire. Les formes quadratiques ne sont pas toutes
non dégénérées (la notion de quotient est utile pour s’y ramener).
L’algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être pratiqué sur une forme quadratique de $\mathbb R^3$ .
Le lien avec la signature doit être clairement énoncé. Malheureusement la notion d’isotropie est mal
maîtrisée par les candidats, y compris les meilleurs d’entre eux. Le cône isotrope est un aspect impor-
tant de cette leçon, qu’il faut rattacher à la géométrie différentielle. Il est important d’illustrer cette
leçon d’exemples naturels.
Notons que le théorème de Chevalley-Warning ne constitue pas un bon développement dans les le-
çons sur les formes quadratiques, sa preuve délicate dans le cadre des polynômes homogènes, devient
assez triviale en degré 2.



\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 132 -- Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il est important de replacer la thématique de la dualité dans cette le-
çon. Les liens entre base duale et fonctions de coordonnées doivent être parfaitement connus. Savoir
calculer la dimension d’une intersection d’hyperplans est au cœur de la leçon. L’utilisation des opérations
 élémentaires sur les lignes et les colonnes permet facilement d’obtenir les équations d’un sous-
espace vectoriel ou d’exhiber une base d’une intersection d’hyperplans. Cette leçon peut être traitée
sous différents aspects : géométrie, algèbre, topologie, analyse etc. Il faut que les développements proposés
soient en lien direct, comme toujours, avec la leçon ; proposer la trigonalisation simultanée est
un peu osé ! Enfin rappeler que la différentielle d’une fonction réelle est une forme linéaire semble
incontournable.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 133 -- Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 135 -- Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Forme réduite. Applications en dimensions 2 ou 3.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} La classification des isométries en 
dimension 2 ou 3 est exigible ainsi que le théorème de décomposition commutative. En dimension 3 :
déplacements (translation, rotations, vissage) ; antidéplacements (symétries planes, symétries 
glissées, et isométrie négative à point fixe unique).


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 136 -- Coniques. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les propriétés classiques des coniques doivent être présentées. Bien distinguer les notions
affines, métriques ou projectives. Les applications à la trajectoire des planètes doivent être connues
et les candidats doivent s’interroger sur la présence d’objets quadratiques dans le monde réel !


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 137 -- Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie. Convexité. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} On attend des candidats qu’ils parlent de coordonnées barycentriques et les
utilisent par exemple dans le triangle (coordonnées barycentriques de certains points remarquables).


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 139 -- Applications des nombres complexes à la géométrie.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Cette leçon ne saurait rester au niveau de la
Terminale. Une étude de l’exponentielle complexe et des homographies de la sphère de Riemann est
tout à fait appropriée.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 140 -- Systèmes d'équations linéaires. Systèmes échelonnés. Résolution. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le jury n’attend pas une version
à l’ancienne articulée autour du théorème de Rouché-Fontené qui n’est pas d’un grand intérêt dans
sa version traditionnellement exposée.
La leçon doit impérativement présenter la notion de système échelonné, avec une définition pré-
cise et correcte et situer l’ensemble dans le contexte de l’algèbre linéaire (sans oublier la dualité !).
Par exemple les relations de dépendances linéaires sur les colonnes d’une matrice échelonnée sont
claires et permettent de décrire simplement les orbites de l’action à gauche de GL(n,K) sur $M_n$(K)
donnée par (P,A) $\mapsto$ PA. Le candidat doit pourvoir écrire un système d’équations de l’espace vectoriel
engendré par les colonnes.
Un point de vue opératoire doit accompagner l’étude théorique et l’intérêt pratique (algorithmique)
des méthodes présentées doit être expliqué.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 141 -- Utilisation des groupes en géométrie.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} C’est une leçon transversale et difficile qui peut aborder des
aspects variés selon les structures algébriques présentes. On ne peut prétendre avoir une bonne note
si elle n’est pas préparée.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 144 -- Problèmes d'angles et de distances en dimension 2 ou 3.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 145 -- Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il faut dans un premier temps dégager 
clairement les méthodes et les illustrer d’exemples significatifs. L’utilisation de séries génératrices est un
outil puissant pour le calcul de certains cardinaux et simplifie bien souvent les problèmes de 
convergence. Le jury s’attend à ce que les candidats sachent calculer des cardinaux classiques et certaines
probabilités !


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 146 -- Résultant, applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il faut soigner la présentation et ne pas perdre de vue l’application linéaire
sous-jacente (U,V) $\mapsto$ AU + BV qui lie le résultant et le PGCD de A et B.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 148 -- Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} La preuve de la loi d’inertie de Silvester doit être connue et le 
candidat doit avoir compris la signification géométrique de ces deux entiers composant la signature
d’une forme quadratique réelle. La différentielle seconde d’une fonction de plusieurs variables est
une forme quadratique importante.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 149 -- Représentations de groupes finis de petit cardinal. }

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage


\section{Leçon 201 -- Espaces de fonctions : exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} 


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 202 -- Exemples de parties denses et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 203 -- Utilisation de la notion de compacité.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité
générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité), sans
proposer des exemples significatifs d’utilisation (Stone-Weierstrass, point fixe, voire étude qualitative
d’équations différentielles, etc.).

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 204 -- Connexité. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il est important de présenter des résultats naturels dont la 
démonstration utilise la connexité. Bien distinguer connexité et connexité par arcs.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 205 -- Espaces complets. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le théorème de Baire trouvera évidemment sa place,
mais il faut l’illustrer par des applications.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 206 -- Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les applications aux équations différentielles sont importantes. Il faut
préparer des contre-exemples pour illustrer la nécessité des hypothèses.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 207 -- Prolongement de fonctions. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les questions liées au prolongement analytique font partie de la leçon.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 213 -- Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il est important de faire la différence entre base algébrique
et base hilbertienne. Il faut connaître quelques critères simples pour qu’une famille orthogonale forme
une base hilbertienne. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace
vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. En revanche, la possibilité
de construire de façon élémentaire le dit-projeté dans le cas particulier d’un sous-espace vectoriel de
dimension finie semble inconnue de nombreux candidats. Les candidats doivent s’intéresser au sens
des formules $x = \sum(x|e_n)e_n$ et $||x||^2 =\sum(x|e_n)2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)$
et en justifiant la convergence.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 214 -- Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} On attend des applications en géométrie 
différentielle (notamment dans la formulation des multiplicateurs de Lagrange). Rappelons
que les sous-variétés sont au programme.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 215 -- Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il est judicieux que les candidats aient une vision à peu près claire de
ce qu’est la différentielle d’une fonction et soient capables de définir la notion de fonctions de classe
$C^k$ . Il faut savoir si une fonction dont les dérivées partielles sont continues est différentiable et il faut
surtout savoir calculer sur des exemples simples, la différentielle d’une fonction.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 216 -- Études métriques de courbes. Exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 217 -- Sous-variétés de Rn. Exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Cette leçon n’a pas eu beaucoup de succès, c’est bien dommage. Elle
ne saurait être réduite à un cours de géométrie différentielle abstraite ; ce serait un contresens. Le jury
attend une leçon concrète, montrant une compréhension géométrique locale. Aucune notion globale
n’est exigible, ni de notion de variété abstraite. Le candidat doit pouvoir être capable de donner 
plusieurs représentations locales (paramétriques, équations, etc.) et d’illustrer la notion d’espace tangent
sur des exemples classiques. Le jury invite les candidats à réfléchir à la pertinence de l’introduction de
la notion de sous-variétés. En ce qui concerne les surfaces de $R^3$ , les candidats sont invités à réfléchir
aux notions de formes quadratiques fondamentales et à leurs interprétations géométriques.
Le théorème des extrema liés peut être évoqué dans cette leçon. Les groupes classiques donnent des
exemples utiles de sous-variétés.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 218 -- Applications des formules de Taylor.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il faut connaître les formules de Taylor des polynômes et 
certains développements très classiques. Il y a de très nombreuses applications en géométrie et 
probabilités (le théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase
stationnaire ou aux inégalités $||f^{(k)}||\leq 2^{k(n−k)/2} ||f||^{1−k/n} ||f^{(n)}||^{k/n}$ (lorsque f et sa dérivée n-ème sont
bornées). On soignera particulièrement le choix des développements.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 219 -- Problèmes d'extremums.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Bien faire la distinction entre propriétés locales (caractérisation d’un extremum)
et globales (existence).


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 220 -- Équations différentielles X' = f(t,X) ; exemples d'études qualitatives des solutions.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le lemme de
Gronwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est rarement énoncé. L’utilisation du
théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en œuvre sur des exemples concrets. Les études
qualitatives doivent être préparées et soignées.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 221 -- Équations différentielles linéaires, systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le cas des systèmes
à cœfficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. 
L’utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s’expliquer. Dans le cas général on peut évoquer
les généralisations de l’exponentielle ( résolvante) via les intégrales itérées.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 223 -- Convergence des suites numériques. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} On peut évoquer la construction de R à partir des suites de
Cauchy.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 224 -- Comportement asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 226 -- Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération $u_n$+1 = f($u_n$). Exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le jury at-
tend d’autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_n+1 = sin(u_n)$. L’étude des suites ho-
mographiques pose des problèmes si on se restreint à R ou C. Il est préférable de passer sur la droite
projective. Il ne faut pas négliger la recherche
préalable de sous-ensembles (intervalles) stables par f .



\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 228 -- Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Un candidat qui indique dans
son plan que l’ensemble des fonctions $C^0$ , nulle part dérivables contient un $G_\delta$ dense de $C^0([0,1],R)$
doit pouvoir donner une telle fonction, ou du moins indiquer un principe de sa construction. Par
ailleurs un plan découpé en deux parties (I - Continuité, II - Dérivabilité) n’est pas le mieux adapté.
Enfin les applications du théorème
d’Ascoli (par exemple les opérateurs intégraux à noyau continu), le théorème de Peano, etc. sont les
bienvenues.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 229 -- Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les candidats sont invités à réfléchir à l’incidence de ces
notions en théorie des probabilités. La dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un
résultat important. Le jury souhaiterait que les candidats illustrent leurs propos et raisonnements
sur les fonctions convexes par des dessins clairs. Il n’est pas déraisonnable de parler de fonctions à
variation bornée.
Le théorème sur 


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 230 -- Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} L’étude
de la convergence d’une série élémentaire par une hiérarchisation des méthodes et par la vérification
des hypothèses correspondantes est appréciée du jury.
Il faut soigner la présentation du plan et ne pas oublier les valeurs absolues lorsqu’on veut énoncer
un théorème de convergence absolue (même remarque pour l’intégration).
Le jury demande que les candidats ne confondent pas équivalents et développements asymptotiques.
Les meilleurs pourront invoquer les méthodes classiques de renormalisation des séries divergentes.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 232 -- Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(x)=0. Exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le jury attire l’attention sur le fait
que X peut désigner un vecteur.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 234 -- Espaces $L^p$, 1 $\leq$ p $\leq\ \infty$.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu’avec une mesure finie
$L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p\geq q$). Il est important de pouvoir justifier l’existence de produits de
convolution (exemple $L^1 *L^1$ ).


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 235 -- Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Bien lire l’énoncé ! Il faut savoir illustrer sur des exemples
l’utilité de l’hypothèse de domination pour la convergence dominée et les théorèmes de permutation
séries-intégrales. Il faut aussi proposer des suites de fonctions qui convergent au sens L 1 sans conver-
ger presque partout. Beaucoup trop de candidats pensent que l’étude des séries se limite à l’étude des
suites, oubliant la structure vectorielle sous-jacente.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 236 -- Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il est souhaitable que les 
candidats précisent le cadre théorique de l’intégration qu’ils considèrent lors de leur leçon. Il ne faut pas
exclure le recours à la variable complexe.


\subsection*{Idées pour le plan :}

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\section{Leçon 238 -- Méthodes de calcul approché d'intégrales et d'une solution d'une équation différentielle.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il faut connaître les majorations d’erreurs de chaque 
méthode proposée et connaître l’origine de ces majorations.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 239 -- Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 240 -- Transformation de Fourier, produit de convolution. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Cette leçon ne peut se résumer à
une collection de relations algébriques (analyse algébrique de la transformée de Fourier). Elle né-
cessite, pour s’inscrire dans le contexte de l’analyse, une étude minutieuse et une réflexion sur les
hypothèses et les définitions des objets manipulés.
L’extension de la transformée de Fourier aux distributions tempérées trouvera sa place ici.
Si l’équation de la chaleur (en dimension 1) a
pour origine la physique, sa résolution mathématique via la transformation de Fourier ne dispense
pas le candidat de conserver une certaine rigueur mathématique. 


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 241 -- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Le jury s’étonne que des candidats considèrent 
des suites de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel de dimension infinie. Cela entraîne
des questions sur la nécessité de l’hypothèse de complétude. D’autre part les candidats ont-ils déjà
manipulé beaucoup de séries de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel de dimension infinie ?


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 242 -- Utilisation en probabilités de la transformation de Fourier ou de Laplace et du produit de convolution.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 243 -- Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :} 

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Il est dommage de ne parler que de 
dérivabilité par rapport à une variable réelle quand on énonce (ou utilise) ensuite ces résultats sur les
fonctions holomorphes.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 245 -- Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les conditions de Cauchy-Riemann doivent
être parfaitement connues et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être
comprise. La notation $\int_\gamma f(z)dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Ne pas confondre dz et
$dx \wedge dy = i/2dz \wedge dz$. Par ailleurs il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe !


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 246 -- Séries de Fourier. Exemples et applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :} Les différents types de convergence ($L^2$ , Fejer, Dirichlet
etc...) doivent être connus. Il faut avoir les idées claires sur la notion de fonctions de classe $C^1$ par
morceaux (elles ne sont pas forcément continues). Dans le cas d’une fonction continue et $C^1$ par
morceaux on peut conclure sur la convergence normale de la série Fourier sans utiliser le théorème
de Dirichlet. Cette leçon ne doit pas se réduire à un cours abstrait sur les cœfficients de Fourier.


\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 247 -- Exemples de problèmes d'interversion de limites.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 249 -- Suites de variables de Bernoulli indépendantes.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 250 -- Loi des grands nombres. Théorème de la limite centrale. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 251 -- Indépendance d'événements et de variables aléatoires. Exemples.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 252 -- Loi binomiale, loi de Poisson. Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 253 -- Utilisation de la notion de convexité en analyse.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 254 -- Espaces de Schwartz et distributions tempérées.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 255 -- Dérivation au sens des distributions. Exemples et Applications.}

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\section{Leçon 256 -- Transformation de Fourier dans S($R^d$) et S'($R^d$). }

\subsection*{Développements :}

\subsection*{Bibliographie :}

\bigskip

\subsection*{Rapport du jury :}

\subsection*{Idées pour le plan :}

\newpage

\end{document}
