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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\newcommand{\scal}[2]{\left\langle #1\, , \, #2 \right \rangle}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\date{}
\title{Théorème de Stabilité de Lyapounov}
\begin{document}
 \maketitle
\begin{thm}
 Soit le système différentiel 
$$y'=f(y),\quad y(0)=x $$
Avec $f : \mathbb R^n \to \mathbb R^n \; \mathcal C^1$ et $f(0)=0$. Si la matrice $Df(0)$ a toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négative, l'origine est un point d'équilibre attractif du système différentiel : il existe $v \in \mathcal V(0)$ tel que $\forall x \in v$, $y(t) \to 0$ exponentiellement quand $t\to \infty$.
\end{thm}
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\begin{proof}
 On introduit le système linéarisé $z'=Az$, $z(0)=x$ ($A=Df(0)$). On note aussi $(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)$ les valeurs propres de $A$ de multiplicité respective $(m_1,\cdots,m_k)$.
\begin{itemize}
 \item Étudions son comportement : \\
On a $z(t)=\exp(tA)x$. Or, on peut écrire, grâce au lemme des noyaux : $x=x_1+\cdots+x_k$ avec $x_i \in \ker(A-\lambda_i)^{m_i}$. Chaque sous-espace est stable par $A$ et 
$$\exp(tA)x_j=\exp(t\lambda_j) \exp(t(A-\lambda_jI))x_j=\exp(t\lambda_j) \left( \sum_{p=0}^{m_j-1} \frac{t^p}{p!} (A-\lambda_j)^p \right) x_j.$$
Pour toute norme sur $\mathbb C^n$, on a alors
$$\Vert \exp(tA) x_j \Vert \leqslant \exp(t\Re(\lambda_j))C_j(1+|t|)^{m_j-1}\Vert x_j\Vert \leqslant C\exp(t\Re(\lambda_j))(1+|t|)^{n-1} \Vert x_j\Vert.$$
De fait,
$$ \Vert \exp(tA) x \Vert \leqslant \sum_{j=1}^k \Vert \exp(tA) x_j \Vert \leqslant C(1+|t|)^{n-1} \left(\sum_{j=1}^k e^{t\Re(\lambda_j)}\right) \max_j \Vert x_j \Vert.$$
Puisque les normes sons toutes équivalentes, c'est exactement dire qu'il existe un polynôme $P$ tel que, pour la norme euclidienne
$$\Vert \exp(tA) x \Vert \leqslant P(|t|) \left( \sum e^{t\Re (\lambda_j)} \right) \Vert x \Vert.$$
Ainsi, par hypothèse sur les valeurs propres, il existe $a >0$ et $C>0$ tels que $\Vert z(t) \Vert \leqslant C e^{-at} \Vert x \Vert.$
\item On introduit alors la forme linéaire symétrique
$$b(x,y)=\int_0^\infty \scal{\exp(tA) x}{\exp(tA)y} dt.$$
Elle est bien définie grâce à la majoration précédente, et elle est définie positive. On note $q$ la forme quadratique associée. On note aussi $r(y)=f(y)-Ay$, si $y$ est une solution du problème de Cauchy initial. Remarquons que 
$$\scal{\grad q(x)}{Ax} = 2b(x,Ax)=-\Vert x \Vert^2.$$
(On aura reconnu dans l'intégrande, la dérivée de $\Vert \exp(tA)x\Vert^2$ et utilisé la majoration précédente). De fait,
$$(q(y))'= Dq(y)\cdot y'(t) =2b(y,y')=2b(y,r(y)+Ay)=2b(y,r(y))-\Vert y\Vert^2.$$
\item Il s'agit maintenant de majorer $b(y,r(y))$. Pour cela, remarquons que $\sqrt q$ définit une norme (euclidienne) pour laquelle l'inégalité de Cauchy Schwarz s'écrit $\Vert b(y,r(y)) \Vert \leqslant \sqrt{q(y)}\sqrt{q(r(y))}.$ La définition de la différentielle de $f$ $r(y)=f(y)-f(0)-Df(0)\cdot y$ montre que pour tout $\varepsilon >0$ il existe $\alpha >0 $ tel que $q(y)\leqslant \alpha$ implique $\sqrt{q(r(y))} \leqslant \varepsilon \sqrt{q(y)}$, donc $2b(y,r(y)) \leqslant 2 \varepsilon q(y)$ (Cauchy-Schwarz). \\
Par équivalence des normes, $(q(y))'=-\Vert y \Vert^2+2b(y,r(y)) \leqslant -C q(y) + 2 \varepsilon q(y) \leqslant -\beta q(y).$ avec $\beta>0$ si $\varepsilon < C/2.$
\item Si $q(x) < \alpha$, on a $q(y(t))\leqslant \alpha$ pour tout $t\geqslant 0$. En effet, sinon, il existerait un $t_0$ premier instant tel que $q(y(t_0))=\alpha$, auquel cas $q(y)'(t_0) \leqslant -\beta \alpha < 0$ et $q(y(t)) > \alpha$ pour $t$ dans un voisinage à gauche de $t_0$, ce qui est donc absurde. \\
Ceci implique donc que $q(y)' \leqslant -\beta q(y)$, ce qui s'écrit $(e^{\beta t} q(y))' \leqslant 0$ donc, puisque $q(y(0))=q(x)$, 
$$q(y(t)) \leqslant e^{-\beta t} q(x),$$ ce qu'il fallait montrer.



\end{itemize}

\end{proof}


\end{document}
