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\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Méthode de Gauss}
\date{2013-2014}
\maketitle

\qquad Référence : Xavier Gourdon, \emph{Algèbre (2e édition)}, Ellipses, 2009, p.232.

\bigskip
La méthode de Gauss permet d'écrire une forme quadratique sur un espace de dimension finie en une combinaire linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.

On se donne la forme quadratique
\[\Phi(x_1,\dotsc,x_n)=\sum_{i=1}^na_{i,i}x_i^2+\sum_{1\le i<j\le n}a_{i,j}x_ix_j.\]
\begin{itemize}
	\item[-- \emph{Premier cas} :]Il existe $i$ tel que $a_{i,i}\neq 0$, disons par exemple $a:=a_{1,1}$. On écrit $\Phi$ sous la forme
	\[\Phi(x_1,\dotsc,x_n)=ax_1^2+x_1B(x_2,\dotsc,x_n)+C(x_2,\dotsc,x_n)\]
	avec $B$ forme linéaire et $C$ forme quadratique. On réécrit $\Phi$ comme
	\[\Phi(x_1,\dotsc,x_n)=a\left(x_1+\frac B{2a}\right)^2+C-\frac {B^2}{4a}\]
	et on itère la méthode.
	\item[-- \emph{Second cas} :]Pour tout $i,a_{i,i}=0$. Si $\Phi$ est nulle, c'est terminé, sinon il existe $a_{i,j}$ non nul $(i<j)$, disons par exemple $a:=a_{1,2}$. On écrit $\Phi$ sous la forme
	\[\Phi(x_1,\dotsc,x_n)=ax_1x_2+x_1B(x_3,\dotsc,x_n)+x_2C(x_3,\dotsc,x_n)+D(x_3,\dotsc,x_n)\]
	avec $B$ et $C$ formes linéaires et $D$ forme quadratique. On réécrit $\Phi$ comme
	\begin{align*}
	\Phi(x_1,\dotsc,x_n)&=a\left(x_1+\frac Ca\right)\left(x_2+\frac Ba\right)+D-\frac{BC}a\\
	&=\frac a4\left[\left(x_1+x_2+\frac{B+C}a\right)^2-\left(x_1-x_2+\frac{C-B}a\right)^2\right]+D-\frac{BC}a
	\end{align*}
	et on itère la méthode.
\end{itemize}
\end{document}