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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\date{}
\title{Méthode de Gauss}
\begin{document}
 \maketitle
Ce développement se trouve dans Demailly, \emph{Analyse numérique et équations différentielles}. Il est sans doute préférable d'inclure la note dans le développement.


Soit $\omega$ une fonction continue sur $]a,b[$ telle que pour tout $n \in \mathbb N$, $\int_a^b |x^n| \omega(x) dx < \infty.$ On note $L^2(\omega)$ l'espace des fonctions de carré intégrable par rapport à ce poids. On cherche une méthode d'intégration approchée du type
$$\int_a^b f(x) \omega(x) dx \simeq \sum_{j=0}^l \lambda_j f(x_j).$$
Il existe alors un unique choix des points $x_j$ et des coefficients $\lambda_j$ tels que la méthode soit d'ordre $2l+1$. Les points $x_j$ sont alors, dans $]a,b[$ et racines du $(l+1)$\ieme{} polynôme orthogonal pour le poids $\omega$.
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\hrule
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\paragraph{Unicité.}
Supposons qu'il existe de tels $x_j$, $\lambda_j$. Posons $\pi_{l+1}(x) = \prod (x-x_j)$. Pour tout $p \in \mathbb R_l[X]$, $\deg(p\pi_{l+1}) \leqslant 2l+1$ donc 
$$\int_a^b p(x) \pi_{l+1}(x) \omega(x) dx = \sum_{j=1}^l \lambda_j p(x_j) \pi_{l+1}(x_j)=0$$
donc $\pi_{l+1}$ est orthogonal à $\mathbb R_l[X]$. Comme il est unitaire, c'est nécessairement le $(l+1)$\ieme{} polynôme orthogonal pour le poids $\omega$. Les $x_j$ en sont donc les racines. \\
De même, si on introduit le polynôme $L_i$ de Lagrange de degré $l$, tel que $L_i(x_j)=\delta_{ij}$, on a
$$\lambda_i=\sum_{j=1}^n \lambda_j L_i(x_j) = \int L_i(x) \omega(x) dx,$$
ce qui détermine uniquement les coefficients $\lambda_j$.

\paragraph{Existence.}  Le polynôme orthogonal pour $\omega$ de degré $l+1$, qu'on note $\pi_{l+1}$, a exactement $l+1$ racines distinctes dans $]a,b[$\footnote{Pour montrer cela, on considère $x_1,\cdots,x_k$ les racines de $\pi_n$ de multiplicité $m_1,\cdots,m_k$. On a $\sum m_k \leqslant n$. On pose alors $\varepsilon_i=0$ si $m_i$ est pair et $\varepsilon_i=1$ si $m_i$ est impair. Alors, si $$q=\prod_{i=1}^k (x-x_i)^{\varepsilon_i},$$on polynôme $\pi_nq$ n'a que des zéros de multiplicité paire, donc il est de signe constant dans $]a,b[$. De fait, $\int \pi_n q \omega \neq 0$ (le polynôme n'est pas constamment nul). Comme $\pi_n \perp \mathbb R_{n-1}[X]$, ceci impose que $q$ soit de degré $n$, donc que $\pi_n$ ait $n$ racines distinctes.}. On les note $x_0,\cdots,x_l$. On pose
$$\lambda_j = \int_a^b L_j(x)\omega(x) dx.$$
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, on note $p_l(x)=\sum_{j=0}^l f(x_j)L_j(x)$ le polynôme interpolateur de Lagrange. Alors
$$\int_a^b p_l(x) \omega(x) dx = \sum_{j=0}^l \lambda_j f(x_j).$$
De fait, si $f \in \mathbb R_l[X]$, la méthode est exacte, donc elle est d'ordre $\geqslant l$. On peut montrer facilement qu'elle est d'ordre $\geqslant 2l+1$ en écrivant la division euclidienne de $f \in \mathbb R_{2l+1}[X]$ par $\pi_{l+1}$ : $f=q\pi_{l+1}+r$, $\deg(q) <l$ et $\deg(r) < l$. Comme $\pi_{l+1}\perp \mathbb R_l[X]$, on a
$$\int_a^b q(x) \pi_{l+1}(x) \omega(x) = 0$$ donc
$$\int_a^b f(x) \omega(x)dx=\int_a^b r(x) \omega(x) dx = \sum_{j=0}^l \lambda_j r(x_j)=\sum \lambda_j f(x_j).$$
La méthode n'est pas d'ordre $l2+2$ car
$\int_a^b \pi_{l+1}^2(x) \omega(x) dx >0$ alors que $\sum \lambda_j \pi_{l+1}^2(x_j)=0$.

\end{document}
