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\newtheoremstyle{theoreme}{15pt}{15pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lemmeM}{Lemme de Morse}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Lemme de Morse}
\date{2012-2013}
\maketitle

\qquad Référence : François Rouvière, \emph{Petit guide du calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation (3e édition)}, Cassini, 2009, p.354.

\begin{lemmeM}
Soit $U\subseteq\mathbb R^n$ un ouvert contenant 0.\\
Soit $f\in\mathcal C^3(U,\mathbb R)$ telle que :
\begin{itemize}
	\item $Df(0)=0$
	\item la forme hessienne $D^2f(0)$ est non dégénérée de signature $(p,n-p)$.
\end{itemize}
Alors il existe $\varphi:x\mapsto u$ un $\mathcal C^1$-difféomorphisme entre deux voisinages de 0 dans $\mathbb R^n$ tel que :
\begin{itemize}
	\item $\varphi(0)=0$
	\item $f(x)-f(0)=u_1^2+\dotsb+u_p^2-u_{p+1}^2-\dotsb-u_n^2$ au voisinage de 0.
\end{itemize}
\end{lemmeM}
\begin{lemme}
Soit $A_0\in GL_n(\mathbb R)\cap S_n(\mathbb R)$.\\
Alors il existe un voisinage $V$ de $A_0$ dans $S_n(\mathbb R)$ et $\phi\in\mathcal C^1(V,GL_n(\mathbb R))$ tels que :
\[\forall A\in V,\qquad A={}^t\phi(A)A_0\phi(A)\]
\end{lemme}
\begin{proof}
On considère :
\begin{align*}
\varphi : M_n(\mathbb R) &\longrightarrow S_n(\mathbb R)\\
M&\longmapsto {}^tMA_0M
\end{align*}
$\varphi$ est polynomiale donc de classe $\mathcal C^1$.

Pour $H\in M_n(\mathbb R)$, on a :
\begin{align*}
\varphi(I_n+H)-\varphi(I_n)&={}^tHA_0+A_0H+{}^tHA_0H\\
&={}^t(A_0H)+A_0H+o\left(\|H\|^2\right)
\end{align*}
D'où :
\[D\varphi(I_n).H={}^t(A_0H)+A_0H\]
$D\varphi(I_n)$ est surjective car, pour $A\in S_n(\mathbb R)$, on a :
\[D\varphi(I_n).\left(\frac 1 2A_0^{-1}A\right)=A\]
Par ailleurs :
\[\ker D\varphi(I_n)=\{H\in M_n(\mathbb R)\mid A_0H\in\mathcal A_n(\mathbb R)\}\]
Or $M_n(\mathbb R)=S_n(\mathbb R)\oplus\mathcal A_n(\mathbb R)$ donc, si on pose $F:=\{H\in M_n(\mathbb R)\mid A_0H\in S_n(\mathbb R)\}$, on a :
\[M_n(\mathbb R)=F\oplus\ker D\varphi(I_n)\]
et $I_n\in F$.

Soit $\psi:F\to S_n(\mathbb R)$ la restriction de $\varphi$ à $F$. Alors $D\psi(I_n)$ est bijective car :
\[\ker D\varphi(I_n)\cap F=\{0\}=\ker D\psi(I_n)\]
Par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage ouvert $U$ de $I_n$ dans $F$ (que l'on peut supposer inclus dans l'ouvert $GL_n(\mathbb R)$) tel que $\psi$ soit un $\mathcal C^1$-difféomorphisme de $U$ sur $V:=\psi(U)$.

$V$ est un voisinage ouvert de $A_0=\psi(I_n)$ dans $S_n(\mathbb R)$ et :
\[\forall A\in V,\qquad A={}^t\psi^{-1}(A)A_0\psi^{-1}(A)\]
D'où le résultat en posant $\phi:=\psi^{-1}$.
\end{proof}
\newpage
\begin{proof}[Démonstration du lemme de Morse]
La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 s'écrit au voisinage de 0 :
\[f(x)-f(0)={}^txQ(x)x\]
où $Q(x)$ est la matrice symétrique suivante :
\[Q(x)=\int_0^1(1-t)D^2f(tx)\,\mathrm dt\]
et $Q$ est de classe $\mathcal C^1$.

De plus, $Q(0)\in GL_n(\mathbb R)\cap S_n(\mathbb R)$ donc d'après le lemme, il existe $M(x)\in GL_n(\mathbb R)$ avec $M$ de classe $\mathcal C^1$ au voisinage de $0$ telle que :
\[Q(x)={}^tM(x)Q(0)M(x)\]
D'où, en posant $y:=M(x)x$,
\[f(x)-f(0)={}^tyQ(0)y\]
Or $\displaystyle Q(0)=\frac 1 2D^2f(0)$ est de signature $(p,n-p)$, donc par la loi d'inertie de Sylvester, il existe $A\in GL_n(\mathbb R)$ telle que, si on pose $u:=A^{-1}y$, on ait :
\begin{align*}
{}^tyQ(0)y&={}^tu{}^tAQ(0)Au\\
&=u_1^2+\dotsb+u_p^2-u_{p+1}^2-\dotsb-u_n^2
\end{align*}
Enfin, $x\mapsto u=A^{-1}M(x)x$ a pour différentielle à l'origine $A^{-1}M(0)\in GL_n(\mathbb R)$ donc, d'après le théorème d'inversion locale, c'est un $\mathcal C^1$-difféomorphisme entre deux voisinages de 0 dans $\mathbb R^n$.
\end{proof}
\end{document}