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\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\title{Densité des fonctions continues nulle part dérivables.}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad Référence : Xavier Gourdon, \emph{Analyse (2e édition)}, Ellipses, 2008, p.401.

\bigskip
On note $I:=[0,1]$ et $\mathcal C:=\mathcal C([0,1],\RR)$ muni de la norme infinie.
\begin{thm}
Le sous-ensemble de $\mathcal C$ des fonctions continues nulle part dérivables est dense dans $\mathcal C$.
\end{thm}
\begin{proof}
Pour $\varepsilon>0$ et $n\in\NN$ on considère
\[U_{\varepsilon,n}:=\left\{f\in\mathcal C\mid\forall x\in I,\exists y\in I,0<|y-x|<\varepsilon,\quad\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|>n\right\}.\]
Les étapes de la preuve sont les suivantes :
\begin{enumerate}
	\item $U_{\varepsilon,n}$ est un ouvert de $\mathcal C$.
	\item $U_{\varepsilon,n}$ est dense dans $\mathcal C$.
	\item L'ensemble des fonctions continues nulle part dérivables contient une intersection dénombrable d'ensembles $U_{\varepsilon,n}$, ce qui permettra de conclure par le théorème de Baire.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{enumerate}
\item
Montrons que le complémentaire $F_{\varepsilon,n}$ de $U_{\varepsilon,n}$ dans $\mathcal C$ est fermé. On a
\[F_{\varepsilon,n}=\{f\in\mathcal C\mid\exists x\in E,\forall y\in I,|y-x|<\varepsilon,\quad|f(y)-f(x)|\le n|y-x|\}.\]
Soit $(f_p)_{p\in\NN}$ une suite de $F_{\varepsilon,n}$ convergeant vers $f\in\mathcal C$, montrons que $f\in F_{\varepsilon,n}$.

Pour tout $p\in\NN,f_p\in F_{\varepsilon,n}$ donc il existe $x_p\in I$ tel que 
\[\forall y\in I,|y-x_p|<\varepsilon,\quad|f_p(y)-f_p(x_p)|\le n|y-x_p|.\]
La suite $(x_p)$ prend ses valeurs dans le compact $I$ donc quitte à extraire on peut supposer qu'elle converge vers $x\in I$.\\
Soit $y\in I$ tel que $|y-x|<\varepsilon$. Il existe $P\in\NN$ tel que $|y-x_p|<\varepsilon$ pour tout $p\ge P$. Ainsi 
\[\forall p\ge P,\qquad|f_p(y)-f_p(x_p)|\le n|y-x_p|.\]
En faisant tendre $p$ vers l'infini on a alors $|f(y)-f(x)|\le n|y-x|$. En effet, la suite $(f_p)$ converge uniformément vers $f$ continue donc $f_p(x_p)\longrightarrow f(x)$.\\
On en déduit que $f\in F_{\varepsilon,n}$.

\item Soit désormais $f\in\mathcal C$ et $\delta>0$. Pour montrer que $U_{\varepsilon,n}$ est dense, il s'agit de trouver $g\in U_{\varepsilon,n}$ tel que $\|f-g\|_\infty\le\delta$. Cherchons $g$ sous la forme $x\mapsto f(x)+\delta\sin(Nx)$. On a bien $\|f-g\|_\infty\le\delta$.

Soit $x\in I$. Pour $y\in I$ on a 
\[\left|\frac{g(y)-g(x)}{y-x}\right|\ge\delta\left|\frac{\sin(Ny)-\sin(Nx)}{y-x}\right|-\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|.\]

Le but étant de minorer ce terme par $n$ pour un $y$ proche de $x$. Il est alors nécessaire d'encadrer $|y-x|$.

Pour tout $N\ge 4\pi$, il existe $y\in I$ tel que 
\[2\pi\le|Nx-Ny|\le 4\pi\qquad\text{et}\qquad|\sin(Nx)-\sin(Ny)|\ge 1.\]
On a alors
\[\frac{2\pi}N\le|x-y|\le\frac{4\pi}N.\]
D'où
\[\left|\frac{g(y)-g(x)}{y-x}\right|\ge\frac{\delta N}{4\pi}-|f(y)-f(x)|\frac N{2\pi}.\]
Or $f$ est uniformément continue sur $I$ compact donc :
\[\exists\alpha\in]0,\varepsilon[,\forall(x,y)\in I^2,|x-y|<\alpha,\quad|f(x)-f(y)|<\frac\delta 4.\]
En choisissant $N$ tel que $\frac{4\pi}N<\alpha$, on a alors
\[\left|\frac{g(y)-g(x)}{y-x}\right|>\frac{\delta N}{8\pi}.\]
Puis en choisissant $N$ tel que $\frac{\delta N}{8\pi}>n$ on obtient la minoration souhaitée et on a bien $0<|y-x|<\alpha<\varepsilon$.
\item Posons
\[R:=\bigcap_{n\in\NN^*}U_{1/n,n}.\]
Alors, par le théorème de Baire, $R$ est dense dans $\mathcal C$ complet comme intersection dénombrable d'ouverts denses.

Soit $f\in R$, montrons que $f$ est nulle part dérivable.

Soit $x\in I$. Pour tout $n,f\in U_{1/n,n}$ donc 
\[\forall n\in\NN^*,\exists x_n\in I,0<|x-x_n|<\frac 1n,\quad\left|\frac{f(x)-f(x_n)}{x-x_n}\right|>n.\]
Donc $x_n\longrightarrow x$ et $\left|\frac{f(x)-f(x_n)}{x-x_n}\right|\longrightarrow+\infty$, donc $f$ n'est pas dérivable en $x$.

Finalement, $f$ est nulle part dérivable.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}