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\newtheorem{defi}{\indent Définition}
\newtheorem{thm}{\indent Théorème}
\newtheorem{thdef}[thm]{\indent Théorème-définition}
\newtheorem{propo}[thm]{\indent Proposition}
\newtheorem{prop}[thm]{\indent Propriété}
\newtheorem{cor}[thm]{\indent Corollaire}
\newtheorem{lem}{\indent Lemme}
\newtheorem{exo}{\indent Exercice}
\newtheorem{rem}{\indent Remarque}
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\newcommand{\group}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{\stab}{\mathrm{stab}}


\title{}
\date{}
\begin{document}

\section{Isométries de l'espace euclidien}
\subsection{Structure générale}

\begin{defi}
On appelle espace affine euclidien tout espace affine réel $E$ dont la direction $\overrightarrow E$ est un espace vectoriel réel de dimension finie muni du produit scalaire canonique. On se place dans ce cadre pour la suite de cette partie et on note $d$ la distance sous-jacente.
\end{defi}

\begin{rem}
En toute généralité, un espace affine est la donnée d'une action simplement transitive d'un espace vectoriel (vu comme groupe additif) sur un ensemble.
\end{rem}

\begin{defi}
 On appelle isométrie de $E$ toute application $f:E\to E$ qui conserve les distances, c'est-à-dire que pour tout $A,B\in E$, $d(f(A),f(B))=d(A,B)$.
\end{defi}

\begin{defi}
 On appelle symétrie orthogonale affine par rapport à un sous-espace affine $F$ toute application affine $\sigma_F$ telle que $M'=\sigma_F(M)$ est défini par $\overrightarrow{OM'} = s_{\overrightarrow F}{\overrightarrow{OM}}$ où $s_F$ est la symétrie orthogonale (vectorielle) par rapport à $\overrightarrow F$. \\
 Une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan affine de $E$.
\end{defi}

\begin{thm}
 Soit $S$ une partie affinement libre de $E$. Notons $n=\dim E$ et $p=\card S$. Toute isométrie de $E$ laissant fixe chaque point de $S$ peut s'écrire comme composée de $k$ réflexions avec $k \leqslant n+1-p$. En particulier ce sont des applications affines bijectives.
\end{thm}

\begin{propo}
 Les isométries de $E$ sont exactement les transformations affines de $E$ dont la partie linéaire est dans le groupe orthogonal $\mathcal O(\overrightarrow E)$ et forment à ce titre un sous-groupe du groupe affine qu'on note $Is(E)$.
\end{propo}

\begin{cor}
 L'application $f \mapsto \overrightarrow f$ est un morphisme surjectif de $Is(E)$ sur $\mathcal{O}(\overrightarrow E)$ de noyau le groupe des translations $\mathcal{T}(E)$.
\end{cor}

\begin{defi}
 Soit $f$ une isométrie de $E$. On dit que $f$ est un déplacement si $\overrightarrow f \in \mathcal{SO}(\overrightarrow E)$ et un antidéplacement sinon. Les déplacements de $E$ forment un sous-groupe d'indice 2 de $E$ noté $Is^+(E)$.
\end{defi}

\begin{thdef}
 Toute isométrie $f$ de $E$ s'écrit de manière unique $f=t_{\overrightarrow u}\circ g$ où $g$ est une isométrie possédant au moins un point fixe et $\overrightarrow{u}$ un vecteur invariant par $\overrightarrow f$, ce qui équivaut par conjugaison à ce que $t_{\overrightarrow u}$ et $g$ commutent. Cette décomposition s'appelle forme réduite de $f$.
\end{thdef}


\subsection{Classification en dimension 2 et 3}.
On suppose ici $\dim E = 2$.

\begin{thdef}
 On appelle angle orienté de deux vecteurs unitaires $\ve u$ et $\ve v$ (pris dans cet ordre) l'orbite du couple $(\ve u,\ve v)$ sous l'action naturelle de $\mathcal{SO}(\ve E)$ sur le cercle unité de $\ve E$. Cet angle est noté $(\ve u, \ve v)$. Les angles orientés forment un groupe, isomorphe à $\mathcal{SO}(\ve E)$. On définit une mesure d'un angle orienté comme tout réel $\theta$ tel que la matrice de $\mathcal{SO}(\ve E)$ associée dans une base orthonormale soit  
$ \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.

En identifiant $(\ve u,\ve v)$ et $(\ve v,\ve u)$, on obtient la notion d'angle géométrique.
\end{thdef}

\begin{defi}
 On appelle angle orienté de deux droites affines $D$, $D'$ dirigées respectivement par $\ve u$ et $\ve{u'}$ la classe d'équivalence de l'angle orienté $(\ve u,\ve{u'})$ par la relation d'équivalence sur les angles orientés : $(\ve u, \ve{u'})=(-\ve u, \ve{u'})$.
 On appelle angle orienté de deux courbes $\mathcal{C}^1$ sécantes en un point l'angle orienté que forment leur tangeantes en ce point.
\end{defi}


\begin{defi}
 Soit $A$ un point de $E$ et $\alpha$ un angle orienté. On appelle rotation de centre $A$ et d'angle $\alpha$ l'unique isométrie laissant fixe $A$ et dont la partie linéaire est la rotation vectorielle d'angle $\alpha$. \\
Soit $D$ une droite de $E$ et $\ve u$ un vecteur non nul dirigeant $D$. On appelle symétrie glissée d'axe $D$ et de vecteur $\ve u$ le composé commutatif $\sigma = t_{\ve u} \circ s_D$.
\end{defi}

\begin{thm}
 \begin{itemize}
  \item Les déplacements de $E$ sont les translations et les rotations.
\item Les antidéplacements de $E$ sont les réflexions et les symétries glissées.
 \end{itemize}
\end{thm}
Désormais, $\dim E = 3$ et on suppose $E$ orienté.

\begin{thm}
 Soit $\varphi \in \mathcal O(\ve E)$. Il existe un unique nombre réel $\theta \in [0,\pi]$ et une base orthonormée $B$ de $\ve E$ tels que la matrice de $\varphi$ dans la base $B$ soit de la forme 
\[ R(\theta)=\begin{bmatrix}
              \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
	      \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0& 0& 1 
             \end{bmatrix} \qquad \text{ou} \qquad S(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}. \]
\end{thm}
\begin{defi} 
\begin{itemize}
\item Soit $D$ une droite orientée par un vecteur unitaire $\ve e$. On complète $e$ en $(\ve{e_1},\ve{e_2},\ve e)$ base orthonormée directe de $\ve E$. On appelle rotation d'axe $(D,\ve e)$ et d'angle $\theta$ la transformation définie comme suit.
Soit $M\in E$ et $O$ la projection orthogonale de $M$ sur $D$, et $P=O+\ve D^\perp$ le plan orthogonal à $D$ passant par $M$. Alors, $r(M)$ est l'image de $M$ par la rotation de $P$ (bien définie !) de centre $O$ et d'angle $\theta$. En vectorialisant en $A \in D$, on voit que dans toute base directe $(\ve{e_1}, \ve{e_2}, e)$, la matrice de $\ve r$ est $R(\theta).$ \\
En particulier, $r$ est un déplacement qui fixe, si $\theta \notin 2\pi \mathbb Z$, exactement $D$.
\item On appelle vissage tout composé $t_{\ve u} \circ r$ (commutatif) d'une rotation $r$ d'axe $(D,\ve e)$ et d'angle $\theta$ et d'une translation de vecteur $\ve u \in \ve D$. C'est un déplacement sans point fixe.
\item On appelle symétrie glissée d'axe $P$ et de vecteur $\ve u \in \ve P \setminus \{0\}$ le composé commutatif $t_{\ve u} \circ s_P$. C'est un antidéplacement sans point fixe.
\item On appelle antirotation le composé $s_P \circ r$ où $r$ est une rotation d'axe $(D,\ve e)$ et d'angle $\theta \neq 0 \mod 2 \pi$ et $P$ un plan perpendiculaire à $D$(écriture unique si $\theta \neq \pi \mod 2 \pi$). C'est un antidéplacement qui possède un unique point fixe.
\end{itemize}


\end{defi}
\begin{thm}
 \begin{itemize}
  \item Les déplacements de $E$ sont les translations, les rotations et les vissages.
 \item Les antidéplacements de $E$ sont les réflexions, les symétries glissées et les antirotations.
 \end{itemize}

\end{thm}

\subsection{Polygones et polyèdres réguliers}
On suppose $\dim E = 2$.
\begin{defi}
On appelle polygone régulier tout polygone convexe dont les côtés $A_iA_{i+1}$ sont tous égaux et si ses angles géométriques $\widehat{A_{i-1} A_i A_{i+1}}$ (c'est-à-dire l'angle géométrique $(\ve{A_iA_{i-1}}, \ve{A_iA_{i+1}})$) sont égaux.
\end{defi}

\begin{thm} %Tauvel + Ramis p. 10
 À similitude près, il existe un et un seul polygone régulier à $n$ côtés. Son groupe d'isométrie (isométries qui le laissent globalement invariant), noté $D_n$, est isomorphe au sous groupe de $\mathcal O(2)$ engendré par $S= \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$ et $R= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ avec $\theta = \frac{2\pi}{n}$.
\end{thm}
\begin{rem}
 Les $D_n$ sont, avec les groupes cycliques engendrés par une rotation d'angle $k\pi / n$ les seuls groupes finis de $\mathcal O(2)$.
\end{rem}

Désormais, $\dim E = 3$.
\begin{defi} % Ramis p. 527
 Soit $P$ un polyèdre convexe. On appelle drapeau de $P$ tout triplet $(A,\alpha,F)$ où $A$ est un sommet, $\alpha$ une arête, $F$ une face et $A \in \alpha \subset F$. On dit que $P$ est régulier si l'action de son groupe d'isométries sur l'ensemble des drapeaux de $P$ est transitive.
\end{defi}

\begin{lem}
 $\mathfrak{A}_5$ est l'unique groupe simple d'ordre 60.
\end{lem}

\begin{thm}
 Les seuls groupes finis de $\mathcal{SO}(3)$ sont, à isomorphisme près, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{A}_4$, $\mathfrak{A}_5$, ainsi que les $D_n$ et les $\mathbb Z / n \mathbb Z$.
\end{thm}
\begin{thm}
 Sous réserve d'existence des 5 solides de Platon, ce sont les seuls polyèdres réguliers.
\end{thm}


\section{Droite projective complexe et groupe circulaire}
\subsection{Cadre projectif}
On estime connu l'espace $\mathbb P_1(\mathbb C) \simeq \mathbb C \cup \{\infty\}$ et on se place dans cet espace. On peut, le voir comme la sphère $S^2$ par projection stéréographique. Ainsi, les cercles de cette sphère correspondent à la famille des cercles et droites de $\mathbb C \cup \{\infty\}$.
\begin{defi}
 On appelle homographie toute transformation de la droite projective complexe de la forme 
$$ h: z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$$ avec les conventions $h(\infty)=\frac{a}{c}$ et $h(\frac{-d}{c})=\infty$ et $ad-bc \neq 0$. Les homographies forment un groupe naturellement isomorphe à $PGL_2(\mathbb C)$.
\end{defi}
\begin{prop}
 Étant donnés 3 points $a,b,c$ distincts, il existe une unique homographie $h$ envoyant $a$ sur $\infty$, $b$ sur $0$ et $c$ sur $1$. Si $d$ est un autre point, on appelle birapport de ces quatre points la quantité $[a,b,c,d] = h(d)$. \\
En outre, on a $$[a,b,c,d]=\left. \frac{d-b}{d-a} \middle/ \frac{c-b}{c-a}.\right.$$
Si ce birapport vaut $-1$, on dit que $(a,b,c,d)$ forment une division harmonique.
\end{prop}
\begin{prop}
 Les homographies conservent les birapports.
\end{prop}
\begin{rem}
 Tout ce qui a été fait jusque là n'utilise pas la structure de $\mathbb C$ et est tout à fait valable pour la droite projective réelle.
\end{rem}

\begin{prop}
 $PGL_2(\mathbb C)$ est engendré par les similitudes directes $ z \mapsto az+b$ ($a\neq 0$) et $z \mapsto \frac{1}{z}$.
\end{prop}
\begin{cor} % Ladegaillerie pg. 487
 Les éléments de $PGL_2(\mathbb C)$ conservent les angles orientés entre deux courbes.
\end{cor}

\begin{prop}
 Le birapport de quatre points alignés sur une droite affine réelle contenue dans $\mathbb C$ coïncide avec leur birapport comme points de la droite affine complexe de $\mathbb C$.
\end{prop}
\begin{prop}
 Pour que quatre points soient alignés sur une droite (affine réelle) ou cocycliques, il faut et il suffit que leur birapport soit réel.
\end{prop}
\begin{prop}
 Toute homographie de la droite projective complexe transforme un cercle ou une droite de $\mathbb C = \mathbb R^2$ en un cercle ou une droite de $\mathbb C = \mathbb R^2$.
\end{prop}
On peut citer ici les théorèmes de Desargues et Pappus, bien qu'ils n'utilisent pas vraiment la théorie des groupes.
\subsection{Le groupe circulaire}
\begin{defi}
On appelle groupe circulaire le sous groupe des transformations de $\mathbb P_1(\mathbb C)$ engendré par les homographies et la symétrie $z \mapsto \overline z$. On le note $G$.
\end{defi}
\begin{prop}
 $G$ est engendré par les inversions ($z \mapsto \omega + k / \overline{z-\omega}$, $k \in \mathbb R$ et $\omega \in \mathbb C$) et les réflexions (au sens de la première partie).
\end{prop}
\begin{cor}
 Les éléments de $G$ conservent les angles géométriques.
\end{cor}
\begin{lem}
 Soit $\varphi : \mathbb C \to \mathbb C$ qui fixe 0 et 1 et préserve les divisions harmoniques. Alors, $\varphi$ est un automorphisme de corps de $\mathbb C$.
\end{lem}
\begin{thm}
 Les éléments de $G$ sont exactement les transformations de $\mathbb P_1(\mathbb C)$ qui préservent la famille des cercles et des droites.
\end{thm}
Nous mettrons ici l'exemple de l'alternative de Steiner et, si on trouve une source, votre exercice sur le lieu des centres des cercles construits par tangence deux à deux (avec des dessins !)
\section{Classification des réseaux du plan}
\subsection{Groupe modulaire et demi-plan de Poincaré}
On appelle demi-plan de Poincaré l'ensemble $ P= \{z \in \mathbb C \, \mid \, \Im z > 0\}$. On note
$$ S= \begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \qquad \text{et} \qquad T=\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}.$$
On appelle groupe modulaire $G=PSL_2(\mathbb Z) = SL_2(\mathbb Z) / \{-I,I\}$.
\begin{prop}
 $G$ agit fidèlement sur $P$ par homographie : 
$$\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \cdot z = \frac{az+b}{cz+d}=\tilde z$$
car $\Im (\tilde z) = \frac{\Im z}{|cz+d|^2}$.
\end{prop}
\begin{thm}
 \begin{enumerate}
\item Pour tout $z\in P$, il existe $g \in G$ tel que $gz \in D$.
\item Si $z,z' \in D$ avec $z' \in Gz$, alors soit $\Re (z) = \pm \frac{1}{2}$ et $|z-z'|=1$, soit $|z|=1$ et $z'=\frac{-1}{z}$.
\item Soit $z\in D$. Alors, $\stab_G (z)=\{I\}$ sauf si 
\begin{itemize}
\item $z=i$ auquel cas $\stab_G (z)=\group{S}$ (d'ordre 2).
\item $z=e^{i\pi/3}$ auquel cas $\stab_G(z)=\group{TS}$ (d'ordre 3).
\item $z=e^{2i\pi/3}$ auquel cas $\stab_G(z) = \group{ST}$ (d'ordre 3).
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{thm}
\begin{thm}
 Le groupe $G$ est engendré par $S$ et $T$.
\end{thm}
\subsection{Les réseaux}
\begin{defi}
 Étant donnés $\omega_1, \omega_2$ deux complexes formant une famille $\mathbb R-$ libre (on note $M$ cet ensemble), on appelle réseau de $\mathbb C= \mathbb R^2$ de base $(\omega_1,\omega_2)$ le sous-groupe de $\mathbb R^2$ 
$$\Gamma= \mathbb Z \omega_1 \oplus \mathbb Z \omega_2.$$
\end{defi}
\begin{prop}
 L'ensemble $\mathscr R$ des réseaux possède naturellement une structure de $\mathbb R$ espace vectoriel et on dispose d'une application (évidemment surjective de $M$ sur $\mathscr R$) qui associe aux couples $(\omega_1,\omega_2)$ le réseau $\mathbb Z \omega_1 \oplus \mathbb Z \omega_2$.
\end{prop}

\begin{thm}
 Pour que deux éléments de $M$ définissent le même réseau, il faut et il suffit qu'ils soient dans la même orbite sous $SL_2(\mathbb Z)$.
\end{thm}

\begin{thm}
 L'application $(\omega_1,\omega_2) \mapsto \frac{\omega_1}{\omega_2}$ induit par passage au quotient une bijection de $\mathscr R / \mathbb C^\ast$ sur $P/G$.
\end{thm}
\begin{rem}
L'orbite de i correspond alors à la classe des réseaux carrés, et celle de $j$, aux réseaux hexagonaux.
\end{rem}
\begin{rem}
 Ce classement des réseaux de $\mathbb C$ permet une classification des courbes elliptiques complexes.
\end{rem}




\end{document}