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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires} 
\date{2012-2013}
\maketitle

On note :
\[\sigma_k(X_1,\dotsc,X_n):=\sum_{1\le i_1<\dotsc<i_k\le n}X_{i_1}\dotsm X_{i_k}\]
le $k$-ième polynôme symétrique élémentaire.

Soit $P$ un polynôme symétrique. Le but est ici d'écrire $P$ comme polynôme en les $\sigma_k$.

Si $m:=X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n}$ est un monôme de $P$, alors il existe $i'_1\ge\dotsc\ge i'_n$ obtenus par permutation des $i_k$ tels que $X_1^{i'_1}\dotsm X_n^{i'_n}$ soit un monôme de $P$.

Le degré de $m$ est alors $(i'_1,\dotsc,i'_n)$, puis le degré de $P$ est le max (selon l'ordre lexicographique) des degrés de ses monômes.

On a alors :

\[\deg\sigma_i=(\underbrace{1,\dotsc,1}_i,0,\dotsc,0)\]

Soit désormais $m:=X_1^{i_1}\dotsm X_n^{i_n},i_1\ge\dotsc\ge i_n$ le monôme de degré maximal de $P$. On pose :

\[Q:=\sigma_1^{i_1-i_2}\sigma_2^{i_2-i_3}\dotsm\sigma_{n-1}^{i_{n-1}-i_n}\sigma_n^{i_n}\]

On a $\deg Q=(i_1,\dotsc,i_n)$. Alors, si $a$ est le coefficient de $m$ dans $P$,

\[\deg(P-aQ)<\deg P\]

Puis on recommence sur $P-aQ$.

\begin{exe}
\[P:=X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2X_1^2+X_2X_3^2+X_3X_1^2+X_3X_2^2\]
dans $k[X_1,X_2,X_3]$.

Alors $\deg P=(2,1,0)$, on pose donc :
\begin{align*}
Q&:=\sigma_1\sigma_2\\
&=(X_1+X_2+X_3)(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)\\
&=X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2X_1^2+X_2X_3^2+X_3X_1^2+X_3X_2^2+3X_1X_2X_3
\end{align*}

D'où :
\[P-Q=-3\sigma_3\]
Finalement :
\[P=\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3\]
\end{exe}
\end{document}