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\newtheorem*{exe}{Exemple}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rmq}{Remarque}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\Large Prolongement de la fonction Gamma.
\end{center}

\medskip

Référence : \emph{Zuily-Queffelec, Analyse pour l'agrégation, p314}

\medskip

On rappelle que la fonction Gamma d'Euler est définie par $\displaystyle\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}{e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t}$ sur $\Omega=\left\{z\in\mathbb{C}, \Re(z)>0\right\}$.

\begin{thm} 
$\Gamma$ se prolonge sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}^-$ sans zéro et admet des pôles simples en les $-n, n\in\mathbb{N}$.
\end{thm}
\begin{proof} \

Par le théorème d'holomoprhie sous le signe intégral, on sait que $\Gamma$ est holomorphe sur $\Omega$ et $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$. On peut alors prolonger $\Gamma$ sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}^-$ de proche en proche : \[ \Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+1)}{z}=\frac{\Gamma(z+2)}{z(z+1)}=\dots \]

Néanmoins, on désire obtenir plus d'informations, notamment concernant les zéros et l'ordre des pôles.

\begin{lem} [formule d'Euler]

$\forall z\in\Omega$, $\displaystyle\Gamma(z)=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{n^zn!}{z(z+1)\dots(z+n)}$.
\end{lem}
\begin{proof} \

Soient $z\in\Omega$ et $\displaystyle f_n(t)=\left(1-\frac{t}{n}\right)^nt^{z-1}\mathds{1}_{]0;n[}(t)$. On a
\begin{itemize}
\item $f_n(t)\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}e^{-n}t^{z-1}\mathds{1}_{]0;+\infty[}$.
\item $\left|f_n(t)\right|\leq e^{-t}t^{\Re(z)-1}$ car $1-u\leq e^{-u}$ pour $u\in[0;1]$.
\end{itemize}

Par le théorème de Lebesgue, $\displaystyle\Gamma(z)=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\int_0^nt^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^n\mathrm{d}t$.
On posant $t=ns$, on obtient, $\Gamma(z)=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}n^z\int_0^1s^{z-1}\left(1-s\right)^n\mathrm{d}t=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}n^zI_n(z)$.

Montrons par récurrence sur $n$ que $\displaystyle I_n(z)=\frac{n!}{z(z+1)\dots(z+n)}$.

\noindent Pour $n=0$, on a $\displaystyle I_0(z)=\int_0^1 s^{z-1}\mathrm{d}s=\left[\frac{s^z}{z}\right]_0^1=\frac{1}{z}$.

\noindent Supposons le résultat vrai pour $n$ fixé. \[ \begin{array}{rcl} I_{n+1}(z) &= &\displaystyle\int_0^1s^{z-1}(1-s)^{n+1}\mathrm{d}s \\ &= &\displaystyle\left[\frac{s^z}{z}(1-s)^{n+1}\right]_0^1+\int_0^1\frac{s^z}{z}(n+1)(1-s)^n\mathrm{d}s \\ &= &\displaystyle 0+\frac{n+1}{z}I_n(z+1) \\ &= &\displaystyle\frac{(n+1)n!}{z(z+1)\dots(z+n)}. \end{array} \]

\end{proof}

Posons $\displaystyle G(z)=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{z(z+1)\dots(z+n)}{n^zn!}=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{z(z+1)\dots(z+n)}{(n+1)^zn!}=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}G_n(z)$.

\noindent $\displaystyle G_n(z)=z\prod\limits_{k=1}^n{\frac{z+k}{k}\textrm{exp}\left({z\log{\frac{k}{k+1}}}\right)}=z\prod\limits_{k=1}^n{f_k(z)}$, les $f_k$ étant holomorphes sur $\mathbb{C}$.

Soit $R$ tel que $\left|z\right|<R$. On écrit $\displaystyle G_n(z)=z\prod\limits_{k=1}^R{f_k(z)}\prod\limits_{k=R+1}^n{f_k(z)}$.

Pour $k>R$, on a $\displaystyle f_k(z)=(1+\frac{z}{k})\textrm{exp}\left(z\log\frac{k}{k+1}\right)=\textrm{exp}\left(\log\left(1+\frac{z}{k}\right)-z\log\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)$.
Ainsi $\displaystyle G_n(z)=z\prod\limits_{k=1}^R{f_k(z)}\textrm{exp}\left(\sum\limits_{k=R+1}^n\log\left(1+\frac{z}{k}\right)-z\log\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)$.

Or $\displaystyle\left|\log\left(1+\frac{z}{k}\right)-z\log\left(1+\frac{1}{k}\right)\right|\leq\frac{C}{k^2}$ car $\displaystyle\frac{\left|z\right|}{k}<1$ (on peut ainsi faire un développement limité.)

La série converge donc uniformément sur $D(0,R)$ vers une fonction holomorphe. Comme $R$ est quelconque, $G_n$ converge uniformément vers une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$. Le produit étant convergent, de limite non nulle, les zéros de la limite sont ceux des $f_k$, c'est-à-dire les $-k, k\in\mathbb{N}$.

Ainsi $\displaystyle F=\frac{1}{G}$ est holomorphe sans zéro sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}^-$.

Comme $F=\Gamma$ sur l'ouvert $\Omega$, c'est le prolongement recherché.

\medskip

\noindent Conclusion : 
\begin{itemize}
\item $\Gamma$ est holomorphe sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}^-$ sans zéro ; 
\item Elle a des pôles simples en les $-n, n\in\mathbb{N}$ ; 
\item $\displaystyle\frac{1}{\Gamma}$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$ avec des zéros simples en les $-n$.
\end{itemize}

\end{proof}



\end{document}