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\setlength\parindent{0em}

\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\newtheorem*{cexe}{Contre-exemple}
\newtheorem*{app}{Application}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}
\newcommand{\transp}{\,{}^t\!}
\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\title{101 -- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
	 \subsection*{Question.}
	Nombre de matrices de $\mathcal M_7(\mathbb F_{13})$ de rang 3 ?
	
	\subsection*{Réponse.}
	Une matrice $M$ est de rang 3 si et seulement si $M$ est équivalente à
	\[J_3:=\begin{pmatrix}1&&&&&\\
	&1&&0&&\\
	&&1&&&\\
	&0&&0&&\\
	&&&&\ddots&\\
	&&&&&0\end{pmatrix}.\]
	On regarde l'action de $(GL_7(\mathbb F_{13}))^2$ sur $\mathcal M_7(\mathbb F_{13})$ suivante : $(P,Q)\cdot M=PMQ^{-1}$. Alors
	\[|\text{Orb}(J_3)|=\frac{|(GL_7(\mathbb F_{13}))^2|}{|\text{Stab}(J_3)|}.\]
	Or $(P,Q)\in\text{Stab}(J_3)\iff J_3Q=PJ_3$. En écrivant $P$ et $Q$ par blocs et en regardant les choix possibles on peut dénombrer le nombre d'éléments du stabilisateur de $J_3$.
	 \subsection*{Question.}
	Soit $n\in\NN$ tel que $n=2q$ avec $q$ impair. On désigne par $D_n$ le groupe diédral, montrer que $D_n$ est isomorphe à $\ZZ/2\ZZ\times D_q$.
	
	\subsection*{Réponse.}
	
	$\langle r^q\rangle$ est distingué dans $D_n$ et $\langle r^2,s\rangle$ aussi car $[D_n:\langle r^2,s\rangle]=2$. De plus, $\langle r^q\rangle\cap\langle r^2,s\rangle=\{e\}$ car $q$ est impair.
	
	Par ailleurs, $|\langle r^q\rangle|\times|\langle r^2,s\rangle|=2n=|D_n|$ et $\langle r^2,s\rangle$ est isomorphe à $D_q$, d'où le résultat.
	
	\emph{Question auxiliaire.}
	Quels sont les $p$-Sylows de $D_n$ dans ce cas ?
	
	\emph{Réponse.}
	
	$2n=2^2q$ et $2\land q=1$ donc les $2$-Sylows sont d'ordre $4$. Il n'y a pas d'éléments d'ordre $4$ donc ils sont isomorphes à $\ZZ/2\ZZ\times\ZZ/2\ZZ$, ce sont les $\langle r^q,r^is\rangle$ pour $i$ fixé. Les autres $p$-Sylows sont formés de rotations (ils sont de cardinal impair donc ne contiennent pas de symétrie).
	 \subsection*{Question.}
	
	Exemple d'anneau qui admet un commutant non commutatif ?
	
	\subsection*{Réponse.}
	
	Le commutant de $I_n$ dans $\mathcal M_n(\RR)$.
	 \subsection*{Question.}
	
	Démontrer la formule de Burnside.
	
	\subsection*{Réponse.}
	
	On note $F:=\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}$.
	
	Alors $|F|=\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)|$ et $|F|=\sum_{x\in X}|\text{Stab}(x)|$, d'où :
	\begin{align*}
	\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)|&=\sum_{x\in X}|\text{Stab}(x)|\\
	&=\sum_{\omega_x}\sum_{y\in\omega_x}|\text{Stab}(y)|\\
	&=\sum_{\omega_x}|\omega_x||\text{Stab(x)}|\\
	&=\sum_{\omega_x}|G|\\
	&=|G|\times|X/G|
	\end{align*}
	où $|X/G|$ désigne le nombre d'orbites et $\omega_x$ l'orbite de $x$.
	 \subsection*{Question.}
	
	Que dire des actions libres et transitives ?
	
	\subsection*{Réponse.}
	
	Pour $x\in X$, \fnc{}{G}{X}{g}{g\cdot x} est bijectif donc $|G|=|X|$.
	
	On peut donner comme exemple les espaces affines, ou l'action de $(\ZZ/n\ZZ)^\times$ sur les racines primitives $n$-ièmes de l'unité.
	
	\subsection*{Question.}
	
	Montrer que le groupe des homographies agit simplement $3$-transitivement sur $\mathbb P(\CC)$.
	
	\subsection*{Réponse.}
	
	L'homographie $z\mapsto\frac{z-\alpha}{z-\gamma}\times\frac{\beta-\gamma}{\beta-\alpha}$ envoie $(\alpha,\beta,\gamma)$ sur $(0,1,\infty)$. On peut montrer que c'est la seule.
\end{document}