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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{definition}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

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\title{105 -- Groupes des permutations d'un ensemble fini. Applications.}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\subsection*{Question.}
Montrer que la signature est l'unique morphisme surjectif de $\mathfrak S_n$ dans $\{-1,1\}$.

\subsection*{Réponse.}
Soit $\varphi:\mathfrak S_n\to\{-1,1\}$ un morphisme surjectif, soit $t$ une transposition. Toutes les transpositions sont conjuguées et $\{-1,1\}$ est abélien donc $\varphi$ est constant sur l'ensemble des transpositions. Or les transpositions engendrent $\mathfrak S_n$, donc si $\varphi(t)=1$, alors $\varphi(\sigma)=1$ pour tout $\sigma\in\mathfrak S_n$. Donc $\varphi(t)=-1$ et $\varphi=\varepsilon$.

\subsection*{Question.}
Soit $H$ un sous-groupe d'indice $n$ de $\mathfrak S_n$, alors $H$ est isomorphe à $\mathfrak S_{n-1}$.

\subsection*{Réponse.}
Voir le Perrin page 30 dont est issue cette démonstration :

On a $|H|=(n-1)!$. Si $n\le 3$ c'est évident, si $n=4$ alors $|H|=6$ donc $H$ est isomorphe à $\mathfrak S_3$ ou à $\ZZ/6\ZZ$, le deuxième cas étant impossible car $\mathfrak S_4$ ne contient pas d'éléments d'ordre $6$.

Supposons $n\ge 5$ et posons $G=\mathfrak S_n$, alors $G$ opère par translation à gauche sur $G/H$, ce qui fournit un morphisme $\varphi:G\to\mathfrak S(G/H)\simeq\mathfrak S_n$.

Montrons que $\varphi$ est injectif : on a $\ker\varphi\subset H$ et $\ker\varphi$ est distingué dans $\mathfrak S_n$, or les sous-groupes distingués de $\mathfrak S_n$ pour $n\ge 5$ sont $\{1\},\mathfrak A_n$ et $\mathfrak S_n$, donc $\ker\varphi=\{1\}$ car $|H|<|\mathfrak A_n|$.

$\varphi$ est donc un isomorphisme pour une raison de cardinal, donc $\varphi(H)$ est un sous-groupe de $\mathfrak S_n$ d'ordre $(n-1)!$. Or $H$ est le stabilisateur de $H$ donc $\varphi(H)$ est le stabilisateur d'un point dans $\mathfrak S_n$, d'où $\varphi(H)\simeq\mathfrak S_{n-1}$.

\subsection*{Question.}
Quel est le nombre de $5$-Sylow dans $\mathfrak S_5$ ?

\subsection*{Réponse.}
On note $n_5$ le nombre de 5-Sylow, alors par le deuxième théorème de Sylow, $n_5\equiv 1[5]$ et $n_5\mid 24$, donc $n_5=1$ ou 6.

Par ailleurs, les 5-Sylow sont d'ordre 5, ce sont donc les groupes engendrés par des 5-cycles, il y a 4 5-cycles dans chaque 5-Sylow et 24 5-cycles au total, donc il y a bien 6 5-Sylow.

\subsection*{Question.}
Quel est le normalisateur du 5-Sylow $H:=\langle (12345)\rangle$ dans $\mathfrak S_5$ ?

\subsection*{Réponse.}
$N(H)=\text{Stab}(H)$ par l'action de conjugaison, donc $|N(H)|=\frac{|\mathfrak S_5|}6=20$ car les 5-Sylow sont conjugués.

Par ailleurs, $(2354)(12345)(2354)^{-1}=(13524)\in H$ donc $N(H)=\langle(2354),(12345)\rangle$ par cardinalité.
\end{document}