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\newcommand{\KK}{\mathbb K}
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\title{107 -- Représentations et caractères d'un groupe fini sur un $\mathbb C$-espace vectoriel.}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\subsection*{Question.}
Montrer que si $G$ est fini, $\rho(g)$ est diagonalisable pour tout $g\in G$, où $\rho:G\to GL(V)$.

\subsection*{Réponse.}
$\rho(g)^{|G|}=1$ par Lagrange et $X^{|G|}-1$ est scindé à racines simple sur $\CC$.

\subsection*{Question.}
Soit $\rho:G\to GL(V)$ une représentation de caractère $\chi$, on note $K_\chi:=\{g\in G\mid\chi(g)=\chi(1)\}$. Montrer que $K_\chi=\ker\rho$, en particulier $K_\chi$ est distingué dans $G$.

\subsection*{Réponse.}
Si $g\in\ker\rho$, on a bien $\chi(g)=\chi(1)$.

$\rho(g)$ est diagonalisable de spectre inclus dans $\mathbb U_{|G|}$ par la question précédente, donc
\[\Re(\chi(g))=\sum_{\lambda\in\text{Sp}(\rho(g))}\Re(\lambda)\le d=\chi(1)\]
où $d$ désigne le degré de $\rho$.

Donc si $\chi(g)=\chi(1)$, alors pour tout $\lambda\in\text{Sp}(\rho(g))$, $\lambda=1$, et donc $\rho(g)=\text{id}$, c'est-à-dire $g\in\ker\rho$.

\subsection*{Question.}
Soit $\chi_1,\dotsc,\chi_n$ les caractères irréductibles de $G$, montrer que les sous-groupes distingués de $G$ sont exactement du type $\bigcap_{i\in I}K_{\chi_i}$ avec $I\subset\{1,\dotsc,n\}$.

\subsection*{Réponse.}
Pour $N\triangleleft G$, on considère $\rho:G\to GL(V)$ la représentation régulière de $G/N$ et on décompose $V$ en somme de représentations irréductibles : $V=\bigoplus V_i$.

Alors $N=\ker\rho=\bigcap\ker\rho_i=\bigcap K_{\chi_i}$.

\subsection*{Question.}
Montrer que si $V$ est de dimension finie, alors $\frac 1{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g)\in\NN$.

\subsection*{Réponse.}
On peut par exemple définir
\[p:=\frac 1{|G|}\sum_{g\in G}\rho(g)\]
et remarquer que $\rho(g)\circ p=p$ pour tout $g$, et donc $p$ est un projecteur. Sa trace est alors la dimension de son image.
\end{document}