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\title{122 -- Anneaux principaux. Applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Soit $A$ principal. Quel est le lien entre les idéaux premiers et les idéaux maximaux de $A$ ?

\section*{Réponse.}
Les idéaux maximaux sont premiers. $\{0\}$ est premier car $A/\{0\}\simeq A$ est intègre mais $\{0\}$ n'est maximal que si $A$ est un corps.

Montrons que tous les autres idéaux premiers de $A$ sont maximaux. Soit $I\neq\{0\}$ un idéal premier, alors il existe $a\in A$ tel que $I=(a)$ car $A$ est principal. Soit $J$ un idéal de $A$ tel que $I\subset J$, alors il existe $b\in A$ tel que $J=(b)$, on a donc $b\mid a$, c'est-à-dire $a=bc$ pour un certain $c\in A$. On a donc $bc\in I$ donc $b\in I$ ou $c\in I$ car $I$ est premier.

Si $b\in I$, alors $I=J$. Sinon, $c\in I$ donc $a\mid c$ et $c\mid a$, donc il existe $k\in A^\times$ tel que $c=ka=kbc$. On en déduit $c(1-kb)=0$, d'où $c=0$ ou $kb=1$. Si $c=0$, alors $a=0$, ce qui est exclu. Donc $kb=1$ et donc $b\in A^\times$, donc $J=A$. 
\section*{Question.}
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire. Montrer que $A[X]$ est euclidien si et seulement si $A$ est un corps.

\section*{Réponse.}
Si $A$ est un corps, $A[X]$ est euclidien de jauge le degré (appliquer l'algorithme de division de polynômes).

Si $A[X]$ est euclidien, alors il est principal. Montrons que $X$ est irréductible dans $A[X]$ : si $X=PQ$, alors on peut supposer sans perdre en généralité que $\deg P=1$ et $\deg Q=0$, c'est-à-dire $X=(aX+b)c=acX+bc$. On en déduit $ac=1$ et $bc=0$, c'est-à-dire $a$ et $c$ sont inversibles et $b=0$ (car $c$ est inversible).

On en déduit que $(X)$ est premier dans $A[X]$, donc maximal car $A[X]$ est principal, donc $A[X]/(X)\simeq A$ est un corps.

\section*{Question.}
Donner un anneau non principal dans lequel les idéaux premiers non nuls sont maximaux.

\section*{Réponse.}
On considère $A:=\ZZ[i\sqrt 5]$. Montrons que $A$ n'est pas factoriel (donc non principal).

On a $6=2\times 3=(1+i\sqrt 5)(1-i\sqrt 5)$. On introduit alors l'application $N:z\mapsto z\bar z$ sur $A$ et on a $a\in A^\times$ si et seulement si $N(z)=1$. En effet, si $N(z)=1$ alors $z\bar z=1$ donc $z$ est inversible, si $zz'=1$, alors $N(zz')=N(z)N(z')=1$ et $N(z)\in\NN$ donc $N(z)=1$. Donc les éléments $2,3,1+i\sqrt 5$ et $1-i\sqrt 5$ ne sont pas inversibles. Montrons par ailleurs que ces éléments sont irréductibles.

Pour $z=a+ib\sqrt 5\in A,N(z)=a^2+5b^2$ donc $N(z)$ est un carré modulo 5, donc $N(z)\equiv\pm 1[5]$. Maintenant, si $z$ n'est pas irréductible, $z=xy$ avec $x$ et $y$ non inversibles donc $N(z)=N(x)N(y)$ avec $N(x),N(y)\neq 1$ (car $x$ et $y$ sont non inversibles) et $N(x),N(y)\equiv\pm 1[5]$. Or $N(2)=4,N(3)=9,N(1+i\sqrt 5)=N(1-i\sqrt 5)=6$ et on vérifie à chaque fois qu'une telle écriture n'est pas possible ($4=2\times 2,9=3\times 3,6=3\times 2$).

Il s'agit maintenant de montrer que si $I$ est un idéal premier non nul, alors $A/I$ est un corps. $A/I$ est intègre, il suffit donc de montrer que $A/I$ est fini (un anneau unitaire intègre fini est un corps). $A$ est un $\ZZ$-module libre de rang 2 (dont une base est $(1,i\sqrt 5)$) et $I$ est un sous-$\ZZ$-module de $A$, donc d'après le théorème de la base adaptée il existe une base $(e_1,e_2)$ de $A$ et $d_1,d_2\in\ZZ$ tels que $(d_1e_1,d_2e_2)$ soit une famille génératrice de $I$. De plus, les $d_i$ sont non nuls car $I$ contient le sous-$\ZZ$-module de rang 2 $\alpha A$ pour $\alpha\in I\setminus\{0\}$, donc $(d_1e_1,d_2e_2)$ est une base de $I$ et on a $A/I\simeq(\ZZ/d_1\ZZ)\times(\ZZ/d_2\ZZ)$, qui est fini. 
\end{document}