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\title{125 -- Extensions de corps. Exemples et applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Quels sont les automorphismes de $\CC$ stables sur $\RR$ ?

\section*{Réponse.}
L'identité et la conjugaison.

\section*{Question.}
Combien y a-t-il d'éléments d'ordre 2 dans $(\ZZ/p\ZZ)^\times$ pour $p$ impair ?

\section*{Réponse.}
$(\ZZ/p\ZZ)^\times$ est cyclique d'ordre pair, il y a donc un seul élément d'ordre 2 : $-1$.

\section*{Question.}
Soit $L/k$ une extension finie avec $L$ de caractéristique 0, on note $\bar k$ la clotûre algébrique de $k$. Donner les morphismes de corps $\varphi:L\to\bar k$ $k$-linéaires.

\section*{Réponse.}
Par le théorème de l'élément primitif, $L$ est engendré par un élément $\alpha$, il suffit alors de connaître l'image de $\alpha$ par $\varphi$. Or $\alpha$ est algébrique donc annulé par un polynôme $P\in k[X]$, donc $P(\varphi(\alpha))=\varphi(P(\alpha))$ et donc $\varphi(\alpha)$ est une racine de $P$.

Par ailleurs, $P$ est à racines simples car irréductible donc premier avec sa dérivée. Soit $\beta\in\bar k$ une racine de $P$, on définit $\varphi:k[X]\to\bar k$ l'application évaluation en $\beta$, le noyau de $\varphi$ est $(P)$ donc on obtient un morphisme $\bar\varphi:k[X]/(P)\to\bar k$ tel que $\bar\varphi(X)=\beta$, et on a $k[X]/(P)\simeq k(\alpha)$.

\section*{Question.}
Soit $\varphi_1,\dotsc,\varphi_n$ les morphismes définis précédemment par les racines de $P$, les conjugués de $\alpha$ sont les $\varphi_1(\alpha),\dotsc,\varphi_n(\alpha)$. Soit $x\in L$, montrer que $S_x:=\sum_{k=1}^n\varphi_k(x)\in k$.

\section*{Réponse.}
$S_\alpha$ est la somme des racines, donc correspond au coefficient devant $X^{n-1}$ de $P$.

On considère $\psi_x:L\to L$ l'application multiplication par $x$ pour $x\in L$. 

On commence par considérer $\psi_\alpha$. La matrice de cette application dans la base canonique de $L$ sur $k$ comme $k$-ev est la matrice compagnon de $P$. On a alors tr$(\psi_\alpha)=S_\alpha$ et les valeurs propres de $\psi_\alpha$ sont les $\varphi_i(\alpha)$.

Soit $x\in L$, on écrit $x=Q(\alpha)$ avec $Q\in k[X]$. On a alors $\psi_x=Q(\psi_\alpha)$, et donc les valeurs propres de $\psi_x$ sont les $Q(\varphi_i(\alpha))$. La trace de $\psi_x$ est donc la somme de ses valeurs propres, c'est-à-dire $\sum_{k=1}^nQ(\varphi_k(\alpha))=\sum_{k=1}^n\varphi_k(Q(\alpha))=\sum_{k=1}^n\varphi_k(x)=S_x$. On a donc $S_x=\text{tr}(\psi_x)\in k$.

\section*{Question.}
Montrer que $\prod_{k=1}^n\varphi_k(x)\in k$.

\section*{Réponse.}
$\det(\psi_x)=\prod_{k=1}^nQ(\varphi_k(\alpha))=\prod_{k=1}^n\varphi_k(x)$ d'où le résultat.

\section*{Question.}
Montrer que la famille $(\varphi_i)_{1\le i\le n}$ est $\bar k$-linéairement indépendante.

\section*{Réponse.}
Soit $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in\bar k$ tels que $\sum_{i=1}^n\lambda_i\varphi_i=0$.

Alors $\sum_{i=1}^n\lambda_i\varphi_i(\alpha^k)=0=\sum_{i=1}^n\lambda_i\varphi_i(\alpha)^k$ pour tout $k$. Or les $\varphi_i(\alpha)$ sont distincts donc le système de Vandermonde est inversible, donc $\lambda_i=0$ pour tout $i$.

\section*{Question.}
On définit tr$(x):=\text{tr}(\varphi_x)$ pour $x\in L$. Montrer que $(x,y)\mapsto\text{tr}(xy)$ est $k$-bilinéaire non dégénérée sur $L$.

\section*{Réponse.}
La $k$-bilinéarité est claire. Soit $x\in L$ tels que tr$(xy)=0$ pour tout $y\in L$. On a 
\[\text{tr}(xy)=\sum_{i=1}^n\varphi_i(x)\varphi_i(y)\]
donc par la question précédente, $\varphi_i(y)=0$ pour tout $i$, donc $y=0$.
\end{document}