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\title{201 -- Espaces de fonctions : exemples et applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Dans le développement sur le théorème de Montel, comment construire la suite exhaustive de compacts ?

\section*{Réponse.}
Pour $n\ge 1$, on pose $K_n:=\{z\in\Omega\cap\bar B(0,n)\mid d(z,\Omega^c)\ge\frac 1n\}$.

\section*{Question.}
On note 
\[E:=\left\{f\in\mathcal C([0,+\infty[,\CC)\mid\sup_{x\in[0,+\infty[}e^{-kx}|f(x)|<+\infty\right\}\] pour un $k>0$. Pour $f\in E$, on note $\|f\|:=\sup_{x\in[0,+\infty[}e^{-kx}|f(x)|$.

Montrer que $(E,\|\cdot\|)$ est un espace de Banach, puis montrer que l'application $L:f\mapsto(x\mapsto y_0+\int_0^x\Psi(f)(t)\dt t$) est contractante, où $\Psi$ est une application de $E$ dans $E$ $s$-lipschitzienne, avec $s<k$. En déduire le théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas d'un système différentiel $\left\{\begin{array}{l}f'=\Psi(f)\\f(0)=y_0\end{array}\right.$.

\section*{Réponse.}
On vérifie d'abord que $\|\cdot\|$ est bien une norme.

Soit $(f_n)_{n\in\NN}$ une suite de Cauchy de $E$. Alors pour tout $x$, $(f_n(x))$ est une suite de Cauchy de $\CC$ donc converge vers un certain $f(x)$. On vérifie ensuite que $f$ est continue et que la convergence a lieu selon $\|\cdot\|$.
\begin{align*}
e^{-kx}|L(f)(x)-L(g)(x)|&=e^{-kx}\left|\int_0^x(\Psi(f)-\Psi(g))(t)\dt t\right|\\
&\le e^{-kx}\int_0^xs\|f-g\|e^{kt}\dt t\\
&\le s\|f-g\|\int_0^xe^{k(t-x)}\dt t\\
&=s\|f-g\|\frac{1-e^{-kx}}k\\
&\le\frac sk\|f-g\|.
\end{align*}
$L$ est donc contractante car $\frac sk<1$ et on peut bien appliquer le théorème de point fixe pour conclure.

\section*{Question.}
Résoudre l'équation $u''=\delta$, où $\delta$ est la fonction de Dirac en 0.

\section*{Réponse.}
En intégrant le Dirac, on obtient $H$ la fonction de Heaviside $+$ une constante $C$, en intégrant à nouveau on obtient $x\mapsto xH(x)+Cx+D$, $D$ constante.
\end{document}