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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
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\newtheorem*{lemme}{Lemme}
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\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\newtheorem*{cexe}{Contre-exemple}
\newtheorem*{app}{Application}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}


\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}
\newcommand{\transp}{\,{}^t\!}
\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\title{204 -- Connexité. Exemples et applications.}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\subsection*{Question.}
Pourquoi $\QQ$ est non connexe ?

\subsection*{Réponse.}
Parce que $\QQ$ peut s'écrire comme union disjointe de deux ouverts de $\QQ$ :
\[\QQ=(\mathopen]-\infty,\sqrt 2[\cap\QQ)\sqcup(\mathopen]\sqrt 2,+\infty[\cap\QQ).\]

\subsection*{Question.}
Soit $f$ continue. Montrer que si un ensemble $X$ est connexe, alors $f(X)$ l'est aussi.

\subsection*{Réponse.}
Soit $A\subset f(X)$ un ensemble ouvert et fermé. $f^{-1}(A)\subset X$ est ouvert et fermé car $f$ est continue, donc $f^{-1}(A)=X$ ou $f^{-1}(A)=\varnothing$ car $X$ est connexe, donc $A=f(X)$ ou $A=\varnothing$.

\subsection*{Question.}
Montrer que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

\subsection*{Réponse.}
Un segment est connexe donc son image par une fonction continue est un connexe de $\RR$ par la question précédente, donc est un intervalle. De plus, un segment est compact donc $f$ y atteint ses bornes.

\subsection*{Question.}
Pourquoi $GL_n(\CC)$ est connexe ?

\subsection*{Réponse.}
Soit $A,B\in GL_n(\CC)$. La fonction $t\mapsto\det(tA+(1-t)B)$ définie sur $\CC$ est polynomiale donc s'annule exactement sur un ensemble $Z$ fini et $0$ et $1$ n'appartiennent pas à $Z$ car $A$ et $B$ sont inversibles. Or $\CC\setminus Z$ est connexe, donc si $\gamma$ est un chemin reliant $0$ à $1$ dans $\CC\setminus Z$, alors $t\mapsto\gamma(t)A+(1-\gamma(t))B$ est un chemin reliant $B$ à $A$ dans $GL_n(\CC)$.

\subsection*{Question.}
Soit $G$ un sous-groupe de $GL_n(\RR)$. Donner un sous-groupe connexe et non trivial de $G$ (s'il en existe).

\subsection*{Réponse.}
Soit $e$ l'élément neutre de $G$, montrons que $C(e)$, la composante connexe de $e$ dans $G$, est un sous-groupe de $G$.

L'application \fnc{\varphi:}{C(e)\times C(e)}{G}{(g,g')}{gg'} est continue donc $\varphi(C(e)\times C(e))$ est connexe et contient $e$ donc est inclus dans $C(e)$. En raisonnant de même avec $g\mapsto g^{-1}$, on montre que $C(e)$ est un sous-groupe connexe de $G$.

On remarque que s'il existe un sous-groupe $H$ connexe et non trivial de $G$, alors $C(e)$ est non trivial car $e\in H$ donc $H\subset C(e)$.
\end{document}